Случайное компактное множество

Случайное компактное множество — это случайная величина со значениями в компактных множествах. Случайные компактные множества используются при изучении аттракторов случайных динамических систем.

ОпределениеПравить

Пусть $\mathcal{K}$$\mathcal{K}$  — множество всех компактных подмножеств ${\mathbb{R}}^2$$\mathbb {R} ^{2}$ . На $\mathcal{K}$$\mathcal{K}$  можно определить метрику Хаусдорфа $h$$h$ :

$h(K_1,K_2)=inf\left\{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0:K_1\subseteq <!--\; \subseteq \; -->K_2⨁<!--\; ⨁\; -->B(0,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}),K_2\subseteq <!--\; \subseteq \; -->K_1⨁<!--\; ⨁\; -->B(0,\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})\right\}.$$h(K_{1},K_{2})=\inf \left\{\varepsilon >0:K_{1}\subseteq K_{2}\bigoplus B(0,\varepsilon ),K_{2}\subseteq K_{1}\bigoplus B(0,\varepsilon )\right\}.$ 

С такой метрикой $h$$h$  множество $\mathcal{K}$$\mathcal{K}$  становится полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают борелевскую $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ -алгебру ${\mathfrak{B}}_K$${\mathfrak {B}}_{K}$  множества $\mathcal{K}$$\mathcal{K}$ .

Тогда случайное компактное множество — это измеримая функция из некоторого вероятностного пространства $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbf{P})$$(\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathbf {P}})$  в измеримое пространство $(\mathcal{K},{\mathfrak{B}}_K)$$({\mathcal {K}},{\mathfrak {B}}_{K})$ . Случайные компактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона. Следовательно, их распределение задается вероятностями

$\mathbf{P}(X\cap <!--\; \cap \; -->K=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}),K\in <!--\; \in \; -->\mathcal{K}.$$\mathbf {P} (X\cap K=\emptyset ),\ \ \ K\in {\mathcal {K}}.$ 

Распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения $\mathbf{P}(X\subset <!--\; \subset \; -->K).$$\mathbf {P} (X\subset K).$ 

Связанные определенияПравить

• Для $K=\{x\}$$K=\{x\}$  определена вероятность $\mathbf{P}(x\in <!--\; \in \; -->X)$$\mathbf {P} (x\in X)$ , которая удовлетворяет соотношению $\mathbf{P}(x\in <!--\; \in \; -->X)=1-<!--\; -\; -->\mathbf{P}(x\notin X).$$\mathbf {P} (x\in X)=1-\mathbf {P} (x\not \in X).$  Тогда можно задать функцию покрытия $p_X$$p_{X}$  формулой $p_X(x)=\mathbf{P}(x\in <!--\; \in \; -->X),x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^2.$$p_{X}(x)=\mathbf {P} (x\in X),\;x\in \mathbb {R} ^{2}.$  Функция покрытия принимает значения между $0$$0$  и $1$$1$  и может интерпретироваться как математическое ожидание индикаторной функции ${\mathbf{1}}_X(x):$$\mathbf {1} _{X}(x):$  $p_X(x)=\mathbf{E}{\mathbf{1}}_X(x).$$p_{X}(x)=\mathbf {E} \mathbf {1} _{X}(x).$ 

• Множество $b_X$$b_{X}$  всех $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^2$$x\in \mathbb {R} ^{2}$  с $p_X(x)>0$$p_{X}(x)>0$  называется базой $X.$$X.$ 

• Множество $k_X$$k_{X}$  всех $x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^2$$x\in \mathbb {R} ^{2}$  с $p_X(x)=1$$p_{X}(x)=1$  называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом $e(X)$$e(X)$ . Если $X_1,X_2,\dots <!--\; \dots \; -->$$X_{1},X_{2},\ldots$  — это последовательность независимых одинаково распределенных случайных компактных множеств, то почти наверное $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}}{X}_i=e(X)$$\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}=e(X)$  и $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}}{X}_i$$\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}$  сходится почти наверное к $e(X).$$e(X).$ 

ЛитератураПравить

• Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.