Скобка Пуассона

Ско́бки Пуассо́на (также возможно ско́бка Пуассо́на и скобки Ли) — оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона. Рассматривался С. Пуассоном в 1809 году, затем забыт и переоткрыт Карлом Якоби.

Скобки Пуассона векторных полейПравить

Пусть $v$$v$  и $u$$u$  — векторные поля на гладком многообразии $M$$M$ , $L_v$$L_{v}$  — оператор производной Ли по направлению векторного поля $v$$v$ . Коммутатор операторов $L_v$$L_{v}$  и $L_u$$L_{u}$  есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле $[v,u]$$[v,u]$ , для которого

$L_v{L}_u-<!--\; -\; -->L_u{L}_v\equiv <!--\; \equiv \; -->[L_v,L_u]=L_{[v,u]}$$L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{{[v,u]}}$ 

Компоненты векторного поля $[v,u]$$[v,u]$  в произвольной системе координат выражаются через компоненты $v$$v$  и $u$$u$  по формуле

$[v,u{]}_i=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{v}_j\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{u}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}-<!--\; -\; -->u_j\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{v}_i}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}.$$[v,u]_{i}=\sum _{j}v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-u_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}.$ 

Таким образом, поле $[v,u]$$[v,u]$  не зависит от системы координат $(x_1,...,x_n),$$(x_{1},...,x_{n}),$  которая используется в формуле.

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

$[v,u]=L_{v}u-<!--\; -\; -->L_{u}v$$[v,u]=L_{v}u-L_{u}v$ 

В голономном базисе оно принимает вид

$[v,u{]}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=v^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{u}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}-<!--\; -\; -->u^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{v}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$[v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\partial _{\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\partial _{\alpha }v^{\mu }$ 

ПримерПравить

Пусть $G=\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(M)$$G=\mathrm {Diff} (M)$  есть группа диффеоморфизмов многообразия $M$$M$ . Тогда ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{v}w=-<!--\; -\; -->\{v,w\},$$\mathrm {ad} _{v}w=-\{v,w\},$  где $\{v,w\}$$\{v,w\}$  — скобка Пуассона, $\mathrm{a}\mathrm{d}$$\mathrm {ad}$  — дифференциал $\mathrm{A}\mathrm{d}$$\mathrm {Ad}$  в единице группы. Символ ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_v$$\mathrm {ad} _{v}$  обозначает образ элемента $v$$v$ .

Пусть $t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->g(t)$$t\mapsto g(t)$  является кривой, которая выходит из $k$$k$  с начальной скоростью $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{g}=m,$${\dot {g}}=m,$  и пусть $s\mapsto <!--\; \mapsto \; -->h(s)$$s\mapsto h(s)$  является такой же кривой с начальной скоростью $h^{\prime }=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}.$$h'=\omega .$  Тогда

$g(t)h(s)g(t{)}^{-<!--\; -\; -->1}=(k+tm+o(t))(k+s\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+o(s))(k+tm+o(t){)}^{-<!--\; -\; -->1}=k+s[\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}+t(m\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}m)+o(t)]+o(s)$$g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o(t))^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)$ 

при $t,s\to <!--\; \to \; -->0.$$t,s\rightarrow 0.$ 

 

Вектор $m$$m$  в алгебре Ли $\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}$  является скоростью в единице $k$$k$  пути $g(t)$$g(t)$  на группе Ли $G$$G$ 

СвойстваПравить

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

• Линейность: $[u,cv]=c[u,v],c$${\Big [}u,cv{\Big ]}=c{\Big [}u,v{\Big ]},\;\;\;\;c$  — функция, не зависящая от $u$$u$  и $v$$v$ .
• Антикоммутативность: $[u,v]=-<!--\; -\; -->[v,u]$${\Big [}u,v{\Big ]}=-{\Big [}v,u{\Big ]}$ 
• $[w,u+v]=[w,u]+[w,v]$${\Big [}w,u+v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}+{\Big [}w,v{\Big ]}$ 
• $[u,u]=0$${\Big [}u,u{\Big ]}=0$ 
• $\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}[u,v]}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t},v]+[u,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}]$${\cfrac {\partial {\Big [}u,v{\Big ]}}{\partial t}}={\Big [}{\cfrac {\partial u}{\partial t}},v{\Big ]}+{\Big [}u,{\cfrac {\partial v}{\partial t}}{\Big ]}$ 
• $[w,c]=0$${\Big [}w,c{\Big ]}=0$ 
• $[w,u\cdot <!--\; \cdot \; -->v]=[w,u]v+u[w,v]$${\Big [}w,u\cdot v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}v+u{\Big [}w,v{\Big ]}$ 
• $[w,u(v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_k)]=\underset{l=1}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{v}_l}[w,v_l]$${\Big [}w,u(v_{1},\ldots ,v_{k}){\Big ]}=\sum _{{l=1}}^{k}{\cfrac {\partial u}{\partial v_{l}}}{\Big [}w,v_{l}{\Big ]}$ 
• Тождество Якоби: $[[u,v],w]+[[v,w],u]+[[w,u],v]=0.$${\Big [}{\Big [}u,v{\Big ]},w{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}v,w{\Big ]},u{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}w,u{\Big ]},v{\Big ]}=0.$ 
• Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Скобки Пуассона функцийПравить

Пусть $M$$M$  — симплектическое многообразие. Симплектическая структура $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  на $M$$M$  позволяет ввести на множестве функций на $M$$M$  операцию скобок Пуассона, обозначаемую $\{\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->\}$$\{\cdot ,\cdot \}$  или $[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->]$$[\cdot ,\cdot ]$  и задаваемую по правилу

$[F,G]\stackrel{\text{def}}{=}{L}_{\mathbf{F}}G\equiv <!--\; \equiv \; -->dG(\mathbf{F})\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{F},\mathbf{G})$$[F,G]\ {\stackrel {{\text{def}}}{=}}\ L_{{{\mathbf F}}}G\equiv dG({\mathbf F})\equiv \omega ({\mathbf F},{\mathbf G})$ 

где $\mathbf{F}$$\mathbf {F}$  (также $IdF$$IdF$ ) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона $F$$F$ . Оно определяется через дифференциал функции $F$$F$  и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ . Именно, для любого векторного поля $\mathbf{v}$${\mathbf v}$ 

$dF(\mathbf{v})\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{v},\mathbf{F})$$dF({\mathbf v})\ {\stackrel {{\text{def}}}{=}}\ \omega ({\mathbf v},{\mathbf F})$ 

Алгебра Ли функций ГамильтонаПравить

В силу кососимметричности и билинейности $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

$[F,G]=-<!--\; -\; -->[G,F]$$[F,G]=-[G,F]$ 

$[F,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}G+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}H]=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}[F,G]+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}[F,H]$$[F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]$ 

Выражение

$[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]$$[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]$ 

является линейной функцией вторых производных каждой из функций $F,G,H$$F,G,H$ . Однако

$\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\ -<!--\; -\; -->L_{Id[G,H]}F+L_{\mathbf{G}}{L}_{\mathbf{H}}F-<!--\; -\; -->L_{\mathbf{H}}{L}_{\mathbf{G}}F=\\ \left(-<!--\; -\; -->L_{Id[G,H]}+L_{[\mathbf{G},\mathbf{H}]}\right)F\end{array}$${\begin{array}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{{Id[G,H]}}F+L_{{{\mathbf G}}}L_{{{\mathbf H}}}F-L_{{{\mathbf H}}}L_{{{\mathbf G}}}F=\\\left(-L_{{Id[G,H]}}+L_{{[{\mathbf G},{\mathbf H}]}}\right)F\end{array}}$ 

Это выражение не содержит вторых производных $F$$F$ . Аналогично, оно не содержит вторых производных $G$$G$  и $H$$H$ , а потому

$[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0$$[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0$ 

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на $M$$M$  структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции $H$$H$ 

$L_{Id[F,G]}H=L_{[\mathbf{F},\mathbf{G}]}H$$L_{{Id[F,G]}}H=L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}H$ ,

то есть

$Id[F,G]=[\mathbf{F},\mathbf{G}]$$Id[F,G]=[{\mathbf F},{\mathbf G}]$ 

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

СвойстваПравить

• Скобки Пуассона невырождены:

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}F\not\equiv 0\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}H:[F,H]\ne <!--\; \ne \; -->0$$\forall F\not \equiv 0\ \exists H:[F,H]\neq 0$ 

• Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

$[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]$$[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]$ 

• Функция $F$$F$  является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$$H$  тогда и только тогда, когда $[F,H]=0$$[F,H]=0$ 
• Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
• Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона $H$$H$ , заданной на многообразии $M$$M$ . Полная производная по времени от произвольной функции $f:<!--\; :\; -->M\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon M\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$  запишется в виде

${\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot q}{\frac {\partial f}{\partial q}}+{\dot p}{\frac {\partial f}{\partial p}}=\\&{\frac {\partial f}{\partial t}}+L_{{{\mathbf H}}}f=\\&{\frac {\partial }{\partial t}}f+[H,f]\end{array}}$ 

• В канонических координатах $(q_i,p_j)$$(q_{i},p_{j})$  скобки Пуассона принимают вид

$[f,g]=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}g}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^i}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^i}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}g}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i}\right)$$[f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)$ 

Философское значениеПравить

Скобки Пуассона сыграли важную эвристическую роль при создании квантовой механики методом классической аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.