Это не официальный сайт wikipedia.org 01.01.2023

Касательное пространство — Википедия

Касательное пространство

(перенаправлено с «Голономный базис»)

Касательное пространство к гладкому многообразию M в точке x — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к M в точке x обычно обозначается T x M или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто T x .

Касательное пространство T x M и касательный вектор v T x M , вдоль кривой γ ( t ) , проходящей через точку x M

Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.

Касательное пространство в точке p к подмногообразию определяется аналогично.

В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.

ОпределенияПравить

Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.

Как класс эквивалентности гладких кривыхПравить

Пусть M   — гладкое многообразие и p M  . Рассмотрим класс Γ p   гладких кривых γ : I M   таких, что γ ( 0 ) = p  . Введём на Γ p   отношение эквивалентности: γ 1 γ 2   если

| γ 1 ( t ) γ 2 ( t ) | = o ( t ) , t 0  

в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей p  .

Элементы касательного пространства T p   определяются как  -классы эквивалентности Γ p  ; то есть

T p = Γ p /  .

В карте такой, что p   соответствует началу координат, кривые из Γ p   можно складывать и умножать на число следующим образом

( γ 1 + γ 2 ) ( t ) = γ 1 ( t ) + γ 2 ( t )  
( k γ ) ( t ) = γ ( k t )  

При этом результат остаётся в Γ p  .

Эти операции продолжаются до классов эквивалентности T p = Γ p /  . Более того, индуцированные на T p   операции уже не зависят от выбора карты. Так на T p   определяется структура векторного пространства.

Через дифференцирование в точкеПравить

Пусть M   — C  -гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию M   в точке p M   называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов X ,   сопоставляющих каждой гладкой функции f : M R   число X f ,   и удовлетворяющих следующим двум условиям:

  • R  -линейность: X ( λ f + μ h ) = λ X f + μ X h , λ , μ R , f , h C ( M )  
  • правило Лейбница: X ( f h ) = ( X f ) h ( p ) + f ( p ) ( X h ) , f , h C ( M ) .  

На множестве всех дифференцирований в точке p   возникает естественная структура линейного пространства:

  • ( X + Y ) f = X f + Y f ;  
    ( k X ) f = k ( X f ) .  

ЗамечанияПравить

  • В случае C k  -гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство
    X f = 0   если f ( q ) = o ( | p q | )  
в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей p  .
  • В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.
  • Пусть γ Γ p  . Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для X f = ( f γ ) ( 0 )  . Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.

СвойстваПравить

  • Касательное пространство n  -мерного гладкого многообразия является n  -мерным векторным пространством
  • Для выбранной локальной карты x 1 , , x n  , операторы X i   дифференцирования по x i  :
    X i f = f x i ( p )  
представляют собой базис T p  , называемый голономным базисом.

Связанные определенияПравить

  • Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.

Вариации и обобщенияПравить

Алгебраическое касательное пространствоПравить

Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для C k  -дифференцируемых многообразий, k <  ). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).

Пусть M   — C k  -дифференцируемое многообразие, C k ( M )   — кольцо дифференцируемых функций из M   в R  . Рассмотрим кольцо C x k   ростков функций в точке x M   и каноническую проекцию [ ] x : C k ( M ) C x k  . Обозначим через m x   ядро гомоморфизма колец [ f ] x f ( x )  . Введем на C x k   структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма i : R C x k  , i ( a ) = [ c o n s t a ] x   и будем далее отождествлять R   и i ( R )  . Имеет место равенство C x k = R m x  [1]. Обозначим через C x , 0 k   подалгебру C x k  , состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке x   в каждой карте; обозначим C x , d k = R m x 2  . Заметим, что C x , d k C x , 0 k  .

Рассмотрим два векторных пространства:

  • T x M := ( C x k / C x , 0 k )   — это пространство имеет размерность dim M   и совпадает с определённым ранее касательным пространством к M   в точке x  ,
  • ( C x k / C x , d k ) ( m x / m x 2 )   — это пространство изоморфно пространству дифференцирований C x k = R m x   со значениями в R C x k  , его называют алгебраическим касательным пространством[2] M   в точке x  .

Если k <  , то m x / m x 2   имеет размерность континуум, а ( m x / m x 2 )   содержит T x M   как нетривиальное подпространство; в случае k =   или k = ω   эти пространства совпадают (и C x , 0 k = C x , d k  )[3]. В обоих случаях T x M   можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований C x k   со значениями в R  , для вектора X T x M   формула X ( f ) = X ( [ f ] x )   задаёт инъективный гомоморфизм T x M   в пространство дифференцирований C k ( M )   со значениями в R   (структура вещественной алгебры на C k ( M )   задается аналогично C x k  ). При этом в случае k =   получается в точности определение, данное выше.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и Группы Ли, М.: Мир, 1969.
  2. Laird E. Taylor, The Tangent Space to a C k   Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.
  3. JE Marsden, T Ratiu, R Abraham, Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, Addison-Wesley Pub. Co., 1983.