Симметрия относительно перестановки одинаковых частиц

Симметрия относительно перестановки одинаковых частиц — в квантовой механике принцип тождественности состояний физических систем, состоящих из частиц одного сорта, при любых перестановках частиц в них.

Например, в системе, состоящей из двух одинаковых частиц, не существует состояния, в котором первая частица находится в состоянии $x$$x$, а вторая в состоянии $y$$y$, или наоборот. Существует лишь состояние, в котором одна из частиц находится в состоянии $x$$x$, а другая в состоянии $y$$y$.

Математически в квантовой механике выражается в инвариантности (симметрии) гамильтониана системы одинаковых частиц относительно перестановки координат любой пары частиц.

Перестановку частиц осуществляет оператор перестановки частиц $P_{kj}$$P_{kj}$, который переводит волновую функцию системы частиц:

${\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{m_1,m_2,...,m_j,...m_k,...}(r_1,r_2,...,r_j,...,r_k,...)=P_{kj}{\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{m_1,m_2,...,m_k,...m_j,...}(r_1,r_2,...,r_k,...,r_j,...),$$\Psi _{m_{1},m_{2},...,m_{j},...m_{k},...}(r_{1},r_{2},...,r_{j},...,r_{k},...)=P_{kj}\Psi _{m_{1},m_{2},...,m_{k},...m_{j},...}(r_{1},r_{2},...,r_{k},...,r_{j},...)\,,$

где $m_1,m_2,...$$m_{1},m_{2},...$ — проекции спинов частиц, $r_1,r_2,...$$r_1, r_2, ...$ — координаты частиц. Два раза применяемый оператор перестановки не меняет волновую функцию, поэтому его собственными значениями могут быть лишь числа $-<!--\; -\; -->1$$-1$ и $+1$$+1$ (в двумерных системах, однако, возможны и комплексные собственные значения, приводящие к квазичастицам энионам).

Собственные функции оператора перестановки, меняющие свой знак, называются антисимметричными, оставляющие свой знак — симметричными. Симметричными волновыми функциями описываются частицы со спином, равным целому числу постоянных Планка. Для статистического описания их систем применяется статистика Бозе — Эйнштейна. Антисимметричными волновыми функциями характеризуются частицы со спином, равным полуцелому числу постоянных Планка. Для статистического описания их систем используется статистика Ферми — Дирака. Связь спина и статистики вытекает из принципа релятивистской инвариантности.

См. такжеПравить

• Принцип тождественности