Убывающие и возрастающие факториалы

Убывающий факториал (иногда употребляются названия нижний, постепенно убывающий или нисходящий факториал) записывается с использованием символа Похгаммера и определяется как

$(x{)}_n=x^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{n}}=x(x-<!--\; -\; -->1)(x-<!--\; -\; -->2)\cdots <!--\; \cdots \; -->(x-<!--\; -\; -->(n-<!--\; -\; -->1))=\underset{k=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(x-<!--\; -\; -->(k-<!--\; -\; -->1))=\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(x-<!--\; -\; -->k).$$(x)_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-(n-1))=\prod _{k=1}^{n}(x-(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).$

Возрастающий факториал (иногда употребляются названия функция Похгаммера, многочлен Похгаммера, верхний, постепенно возрастающий или восходящий факториал) определяется как

$x^{(n)}=x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots <!--\; \cdots \; -->(x+(n-<!--\; -\; -->1))=\underset{k=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(x+(k-<!--\; -\; -->1))=\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(x+k).$$x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+(n-1))=\prod _{k=1}^{n}(x+(k-1))=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).$

Значение обоих факториалов принимается равным 1 (пустое произведение^[en]) для n = 0.

Символ Похгаммера, который предложил Лео Август Похгаммер, — это обозначение $(x{)}_n$$(x)_{n}$, где $n$$n$ — неотрицательное целое. В зависимости от контекста, символ Похгаммера может представлять убывающий факториал или возрастающий факториал, определённые выше. Необходимо проявлять осторожность при интерпретации символа в каждой конкретной статье. Сам Похгаммер использовал обозначение $(x{)}_n$$(x)_{n}$ с совершенно другим смыслом, а именно для обозначения биномиального коэффициента $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n})$${\binom {x}{n}}$.

В данной статье символ $(x{)}_n$$(x)_{n}$ используется для представления убывающего факториала, а символ $x^{(n)}$$x^{(n)}$ — для возрастающего факториала. Эти соглашения приняты в комбинаторике. В теории специальных функций (в частности, гипергеометрической функции) символ Похгаммера $(x{)}_n$$(x)_{n}$ используется для представления возрастающего факториала Полезный список формул для манипуляции с возрастающими факториалами в этой последней нотации дан в книге Люси Слейтер. Кнут использовал термин факториальные степени, которые включают возрастающие и убывающие факториалы

Если x — неотрицательное целое число, то $(x{)}_n$$(x)_{n}$ даёт число n-перестановок x-элементного множества или, эквивалентно, число инъекций из множества с n элементами в множество размера x. Однако для этих значений используются другие обозначения, такие как ${}_x{P}_n$$_{x}P_{n}$ и P(x,n). Символ Похгаммера используется большей частью для алгебраических целей, например, когда x является неизвестной величиной, и в этом случае $(x{)}_n$$(x)_{n}$ означает определённый многочлен от x степени n.

ПримерыПравить

Несколько первых возрастающих факториалов:

$x^{(0)}=x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{0}}=1$$x^{(0)}=x^{\overline {0}}=1$ 

$x^{(1)}=x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1}}=x$$x^{(1)}=x^{\overline {1}}=x$ 

$x^{(2)}=x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{2}}=x(x+1)=x^2+x$$x^{(2)}=x^{\overline {2}}=x(x+1)=x^{2}+x$ 

$x^{(3)}=x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{3}}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x$$x^{(3)}=x^{\overline {3}}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x$ 

$x^{(4)}=x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x$$x^{(4)}=x^{\overline {4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x$ 

Несколько первых убывающих факториалов:

$(x{)}_0=x^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{0}}=1$$(x)_{0}=x^{\underline {0}}=1$ 

$(x{)}_1=x^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{1}}=x$$(x)_{1}=x^{\underline {1}}=x$ 

$(x{)}_2=x^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{2}}=x(x-<!--\; -\; -->1)=x^2-<!--\; -\; -->x$$(x)_{2}=x^{\underline {2}}=x(x-1)=x^{2}-x$ 

$(x{)}_3=x^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{3}}=x(x-<!--\; -\; -->1)(x-<!--\; -\; -->2)=x^3-<!--\; -\; -->3x^2+2x$$(x)_{3}=x^{\underline {3}}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x$ 

$(x{)}_4=x^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{4}}=x(x-<!--\; -\; -->1)(x-<!--\; -\; -->2)(x-<!--\; -\; -->3)=x^4-<!--\; -\; -->6x^3+11x^2-<!--\; -\; -->6x$$(x)_{4}=x^{\underline {4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x$ 

Коэффициенты, получающиеся при раскрытии скобок, являются числами Стирлинга первого рода.

СвойстваПравить

Возрастающий и убывающий факториалы можно использовать для выражения биномиальных коэффициентов:

$\frac{x^{(n)}}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+n-<!--\; -\; -->1}{n})$${\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}$  и $\frac{(x{)}_n}{n!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n}).$${\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.$ 

Тогда многие тождества для биномиальных коэффициентов переносятся на возрастающие и убывающие факториалы.

Возрастающий факториал можно выразить через убывающий факториал, начинающийся с другого конца,

$x^{(n)}={(x+n-<!--\; -\; -->1)}_n,$$x^{(n)}={(x+n-1)}_{n},$ 

или как убывающий факториал с противоположным аргументом,

$x^{(n)}={(-<!--\; -\; -->1)}^n{(-<!--\; -\; -->x)}_n.$$x^{(n)}={(-1)}^{n}{(-x)}_{n}.$ 

Возрастающий и убывающий факториалы вполне определены в любом унитальном кольце, а потому x может быть, например, комплексным числом, отрицательным числом, многочленом с комплексными коэффициентами или любой комплексной функцией.

Возрастающий факториал можно расширить на вещественные значения n с помощью гамма-функции:

$x^{(n)}=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x+n)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x)},$$x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},$ 

и таким же образом убывающий факториал:

$(x{)}_n=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x+1)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x-<!--\; -\; -->n+1)}.$$(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}.$ 

Если обозначить через D взятие производной от x, получим

$D^n(x^a)=(a{)}_n{x}^{a-<!--\; -\; -->n}.$$D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{a-n}.$ 

Символ Похгаммера является неотъемлемой частью определения гипергеометрической функции — гипергеометрическая функция определена для |z| < 1 степенным рядом

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{a^{(n)}{b}^{(n)}}{c^{(n)}}\frac{z^n}{n!}$$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}$ 

при условии, что c не равно 0, −1, −2, ... . Заметим, однако, что в литературе о гипергеометрической функции для возрастающего факториала используется обозначение ${(a)}_n$${(a)}_{n}$ .

Связь с теневым исчислениемПравить

Убывающий факториал встречается в формуле, которая представляет многочлены с использованием оператора конечной разности $△<!--\; △\; -->$$\vartriangle$  и которая формально подобна теореме Тейлора. В этой формуле и многих других местах убывающий факториал $(x{)}_k$$(x)_{k}$  при вычислении конечных разностей играет роль $x^k$$x^{k}$  при вычислении производной. Заметим, например, похожесть

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}(x{)}_k=k(x{)}_{k-<!--\; -\; -->1},$$\Delta (x)_{k}=k\ (x)_{k-1},$ 

на

$D{x}^k=k{x}^{k-<!--\; -\; -->1},$$Dx^{k}=k\ x^{k-1},$ 

Похожие факты имеют место для возрастающих факториалов.

Изучение аналогий этого типа известно как «теневое исчисление». Основная теория, описывающая такие отношения, включая убывающие и возрастающие функции, рассматривается в теории последовательностей многочленов биномиального типа^[en] и последовательностей Шеффера^[en]. Возрастающие и убывающие факториалы являются последовательностями Шеффера биномиального типа, что показывают следующие соотношения:

$(a+b{)}^{(n)}=\underset{j=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(a{)}^{(n-<!--\; -\; -->j)}(b{)}^{(j)}$$(a+b)^{(n)}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)^{(n-j)}(b)^{(j)}$ 

$(a+b{)}_n=\underset{j=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})(a{)}_{n-<!--\; -\; -->j}(b{)}_j$$(a+b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(a)_{n-j}(b)_{j}$ 

где коэффициенты те же самые, что и при разложении в степенной ряд биномиального тождества Вандермонда).

Аналогично, генерирующая функция многочленов Похгаммера тогда равна сумме теневых экспонент,

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x{)}_n\frac{t^n}{n!}=(1+t{)}^x,$$\sum _{n=0}^{\infty }(x)_{n}~{\frac {t^{n}}{n!}}=(1+t)^{x}~,$ 

так как $△<!--\; △\; -->(1+t{)}^x=t(1+t{)}^x$$\vartriangle (1+t)^{x}=t(1+t)^{x}$ .

Коэффициенты связи и тождестваПравить

Убывающие и возрастающие факториалы связаны друг с другом с помощью чисел Лаха и с помощью сумм целых степеней переменной $x$$x$ , используя числа Стирлинга второго рода, следующим образом (здесь $(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})=r^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{k}}/k!$${\binom {r}{k}}=r^{\underline {k}}/k!$ ):

${\begin{aligned}x^{\underline {n}}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}\times (x)_{k}\\&=(-1)^{n}(-x)_{n}=(x-n+1)_{n}={\frac {1}{(x+1)^{\overline {-n}}}}\\(x)_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(n-1)^{\underline {n-k}}\times x^{\underline {k}}\\&=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}={\frac {1}{(x-1)^{\underline {-n}}}}\\&={\binom {-x}{n}}(-1)^{n}n!\\&={\binom {x+n-1}{n}}n!\\x^{n}&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\n-k\end{matrix}}\right\}x^{\underline {n-k}}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(-1)^{n-k}(x)_{k}.\end{aligned}}$ 

Поскольку убывающие факториалы являются базисом для кольца многочленов, мы можем выразить произведение двух из них в виде линейной комбинации убывающих факториалов:

$(x{)}_m(x{)}_n=\underset{k=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k!(x{)}_{m+n-<!--\; -\; -->k}.$$(x)_{m}(x)_{n}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,(x)_{m+n-k}.$ 

Коэффициенты при $(x{)}_{m+n-<!--\; -\; -->k}$$(x)_{m+n-k}$  называются коэффициентами связи и имеют комбинаторную интерпретацию как число способов склеить k элементов из множества из m элементов и множества из n элементов. Мы имеем также формулу связи для отношения двух символов Похгаммера

$\frac{(x{)}_n}{(x{)}_i}=(x+i{)}_{n-<!--\; -\; -->i},n\ge <!--\; \ge \; -->i.$${\frac {(x)_{n}}{(x)_{i}}}=(x+i)_{n-i},\ n\geq i.$ 

Кроме того, мы можем расширить обобщённое правило степеней и отрицательные возрастающие и убывающие степени с помощью следующих тождеств:

${\begin{aligned}x^{(m+n)}&=x^{(m)}(x+m)^{(n)}\\(x)_{m+n}&=(x)_{m}(x-m)_{n}\\(x)_{-n}&={\frac {1}{(x-n)_{n}}}={\frac {1}{(x-1)^{\underline {n}}}}\\x^{\underline {-n}}&={\frac {1}{(x+1)_{n}}}={\frac {1}{n!{\binom {x+n}{n}}}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}.\end{aligned}}$ 

Наконец, формула удвоения^[en] и формулы умножения^[en] для возрастающих факториалов дают следующие отношения:

$(x{)}_{k+mn}=(x{)}_k{m}^{mn}\underset{j=0}{\overset{m-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{\left(\frac{x+j+k}{m}\right)}_n,m\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$(x)_{k+mn}=(x)_{k}m^{mn}\prod _{j=0}^{m-1}\left({\frac {x+j+k}{m}}\right)_{n},\ m\in \mathbb {N}$ 

$(ax+b{)}_n=x^n\underset{k=0}{\overset{x-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{\left(a+\frac{b+k}{x}\right)}_{n/x},x\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}^{+}$$(ax+b)_{n}=x^{n}\prod _{k=0}^{x-1}\left(a+{\frac {b+k}{x}}\right)_{n/x},\ x\in \mathbb {Z} ^{+}$ 

$(2x{)}_{2n}=2^{2n}(x{)}_n{\left(x+\frac{1}{2}\right)}_n.$$(2x)_{2n}=2^{2n}(x)_{n}\left(x+{\frac {1}{2}}\right)_{n}.$ 

Альтернативные обозначенияПравить

Альтернативное обозначение для возрастающего факториала

$x^{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{m}}=\stackrel{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}{\stackrel{⏞<!--\; ⏞\; -->}{x(x+1)\dots <!--\; \dots \; -->(x+m-<!--\; -\; -->1)}}$$x^{\overline {m}}=\overbrace {x(x+1)\ldots (x+m-1)} ^{m~\mathrm {factors} }$  для целого $m\ge <!--\; \ge \; -->0,$$m\geq 0,$ 

И для убывающего факториала

$x^{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{m}}=\stackrel{m\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{s}}{\stackrel{⏞<!--\; ⏞\; -->}{x(x-<!--\; -\; -->1)\dots <!--\; \dots \; -->(x-<!--\; -\; -->m+1)}}$$x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {factors} }$  для целого $m\ge <!--\; \ge \; -->0;$$m\geq 0;$ 

восходит к А. Капелли (1893) и Л. Тоскано (1939) соответственно. Грэм, Кнут и Паташник предложили произносить это выражение как "повышение x на m" и "понижение x на m" соответственно.

Другие обозначения для убывающего факториала включают $P(x,n){,}^x{P}_n,P_{x,n}$$P(x,n),^{x}P_{n},P_{x,n}$  или ${}_x{P}_n$$_{x}P_{n}$ . (См. статьи «Перестановка» и «Сочетание».)

Альтернативное обозначение $(x{)}_n^{+}$$(x)_{n}^{+}$  для возрастающего факториала $x^{(n)}$$x^{(n)}$  употребляется реже. Во избежание путаницы в случае, когда используется обозначение $(x{)}_n^{+}$$(x)_{n}^{+}$  для возрастающего факториала, для обычного убывающего факториала используется обозначение $(x{)}_n^{-<!--\; -\; -->}$$(x)_{n}^{-}$ .

ОбобщенияПравить

Символ Похгаммера имеет обобщённую версию, называемую обобщённым символом Похгаммера^[en], и используется в многомерном анализе. Имеется также q-аналог, q-символ Похгаммера.

Обобщение убывающего факториала, в котором функция вычисляется на убывающей арифметической прогрессии:

$[f(x){]}^{k/-<!--\; -\; -->h}=f(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->f(x-<!--\; -\; -->h)\cdot <!--\; \cdot \; -->f(x-<!--\; -\; -->2h)\cdots <!--\; \cdots \; -->f(x-<!--\; -\; -->(k-<!--\; -\; -->1)h),$$[f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h),$ .

Соответствующее обобщение возрастающего факториала

$[f(x){]}^{k/h}=f(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->f(x+h)\cdot <!--\; \cdot \; -->f(x+2h)\cdots <!--\; \cdots \; -->f(x+(k-<!--\; -\; -->1)h).$$[f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h).$ 

Это обозначение объединяет возрастающий и убывающий факториалы, которые равны $[x{]}^{\frac{k}{1}}$$[x]^{\tfrac {k}{1}}$  и $[x{]}^{\frac{k}{-<!--\; -\; -->1}}$$[x]^{\tfrac {k}{-1}}$  соответственно.

Для любой фиксированной арифметической функции $f:\mathbb{N}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{C}$$f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$  и символических параметров $x,t$$x,t$ , связанные обобщённые произведения вида

$(x{)}_{n,f,t}:=\underset{k=1}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)$$(x)_{n,f,t}:=\prod _{k=1}^{n-1}\left(x+{\frac {f(k)}{t^{k}}}\right)$ 

можно изучать с точки зрения классов обобщённых чисел Стирлинга первого рода, определённых с помощью следующих коэффициентов при $x$$x$  в разложении $(x{)}_{n,f,t}$$(x)_{n,f,t}$ , а затем с помощью следующего рекуррентного соотношения:

${\begin{aligned}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}&=[x^{k-1}](x)_{n,f,t}\\&=f(n-1)t^{1-n}\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{f,t}+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{f,t}+\delta _{n,0}\delta _{k,0}.\end{aligned}}$ 

Эти коэффициенты удовлетворяют многочисленным свойствам, аналогичным свойствам чисел Стирлинга первого рода, а также рекуррентным отношениям и функциональным равенствам, связанным с f-гармоничными числами $F_n^{(r)}(t):=\underset{k\le <!--\; \le \; -->n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{t}^k/f(k{)}^r$$F_{n}^{(r)}(t):=\sum _{k\leq n}t^{k}/f(k)^{r}$ .

См. такжеПравить

• k-символ Похгаммера^[en]
• Тождество Вандермонда

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Pochhammer Symbol (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Elementary Proofs