Функция вероятности

Не следует путать с функцией распределения.

Фу́нкция вероя́тности в теории вероятностей — функция, возвращающая вероятность того, что дискретная случайная величина $X$$X$ примет определённое значение. Например, пусть $p:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->[0,1]$$p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ — функция вероятности, тогда вероятность того, что $X$$X$ примет значение равное 13, вычисляется подстановкой значения $X=13$$X=13$ в функцию $p(X)=p(13)$$p(X)=p(13)$, которая уже возвращает вероятность, например, 0.5 — это означает, что вероятность получить число 13 равна 0.5.

Функции вероятности для биномиальных распределений с разными параметрами

Если $X$$X$ — скалярная случайная величина, функция вероятности задаётся таблицей возможных значений с соответствующими вероятностями ($x_i,p_i$$x_{i},\,p_{i}$); такая таблица носит название «ряд распределения».

Функция вероятности — это наиболее часто используемый способ охарактеризовать дискретное распределение. Она играет ту же роль, что и плотность вероятности для непрерывной случайной величины (однако в последней ситуации речь идёт не о вероятности реализации конкретного значения $X$$X$, а о вероятности попадании значения случайной величины в заданный интервал, которая находится интегрированием плотности вероятности по этому интервалу).

ОпределенияПравить

Функция произвольной вероятностиПравить

Пусть $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$  является вероятностной мерой на ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , то есть определено вероятностное пространство $\left({\mathbb{R}}^n,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n),\mathbb{P}\right)$$\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ , где $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$  обозначает борелевскую σ-алгебру на ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ . Вероятностная мера называется дискретной, если её носитель $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$  не более, чем счётен, то есть существует не более, чем счётное подмножество $X\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$X\subset \mathbb {R} ^{n}$  такое, что $\mathbb{P}(X)=1$$\mathbb {P} (X)=1$ .

Функция $p:{\mathbb{R}}^n\to <!--\; \to \; -->[0,1]$$p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ , определённая следующим образом:

$p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus X,\end{matrix}}\right.$ 

где $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$  — дискретная вероятностная мера, называется функцией вероятности $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$ . Здесь важно понимать, что $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$  - это функция, определённая на множествах, а не на числах, в то время как $p(x)$$p(x)$ , будучи определённой через $\mathbb{P}$$\mathbb {P}$ , уже является функцией определённой над числами.

Функция вероятности дискретной случайной величиныПравить

Пусть $X:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$X:\Omega \to \mathbb {R}$  ($X:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^n$$X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ ) — случайная величина (случайный вектор). Тогда она индуцирует (наводит) вероятностную меру ${\mathbb{P}}^X$$\mathbb {P} ^{X}$  на $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  (на ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ ), называемую распределением. Случайная величина называется дискретной, если её распределение дискретно. Функция вероятности $p_X$$p_{X}$  дискретной случайной величины $X$$X$  имеет вид:

$p_X(x)={\mathbb{P}}^X(\{x\})\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathbb{P}(X=x)$$p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)$ ,

или

$p_X(x_i)=\mathbb{P}(X=x_i)=p_i,i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N},$$p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} ,$ 

где $\{x_1,x_2,x_3,\dots <!--\; \dots \; -->\}$$\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}$  — множество значений, которые принимает $X$$X$ .

Свойства функции вероятностиПравить

Из свойств вероятности очевидно^[кому?] следует:

• $p_X(x_i)⩾<!--\; ⩾\; -->0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$ .
• $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{p}_X(x_i)=1$$\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$ .
• Функция распределения случайной величины может быть выражена через её функцию вероятности:

$F_X(x)=\underset{x^{\prime }⩽<!--\; ⩽\; -->x}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_X(x^{\prime })$$F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')$ .

• Если $X=(X_1,X_2)$$X=(X_{1},X_{2})$ , то

$\underset{x_2}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=p_{X_1}(x_1)$$\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1})$ ,

$\underset{x_1}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=p_{X_2}(x_2)$$\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2})$ ,

где $p_{X_1,X_2}$$p_{X_{1},X_{2}}$  — функция вероятности вектора $(X_1,X_2)$$(X_{1},X_{2})$ , а $p_{X_i}$$p_{X_{i}}$  — функция вероятности величины $X_i,i=1,2$$X_{i},\;i=1,2$ . Это свойство очевидно обобщается для случайных векторов размерности $n>2$$n>2$ .

• Математическое ожидание функции от дискретной величины, когда оно существует, имеет вид:

$\mathbb{E}[g(X)]=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}g(x_i)p_i$$\mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i}$ ,

при условии что ряд в правой части абсолютно сходится.

Примеры дискретных распределенийПравить

• Распределение Бернулли;
• Биномиальное распределение;
• Геометрическое распределение;
• Гипергеометрическое распределение;
• Логарифмическое распределение;
• Отрицательное биномиальное распределение;
• Распределение Пуассона;
• Дискретное равномерное распределение;
• Мультиномиальное распределение.

См. такжеПравить

• Плотность вероятности