Распределение Бернулли

Распределе́ние Берну́лли в теории вероятностей и математической статистике — дискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, при заранее известной вероятности успеха или неудачи.

Распределение Бернулли
Функция вероятности
Функция распределения
Параметры	$p\in <!--\; \in \; -->(0,1)$$p\in (0,1)$ $q\equiv <!--\; \equiv \; -->1-<!--\; -\; -->p$$q\equiv 1-p$
Носитель	$k=\{0,1\}$$k=\{0,1\}$
Функция вероятности	${\begin{matrix}q&k=0\\p~~&k=1\end{matrix}}$
Функция распределения	${\begin{matrix}0&k<0\\q&0\leq k<1\\1&k\geq 1\end{matrix}}$
Математическое ожидание	$p$$p$
Мода	${\begin{cases}0,&q>p\\0,1,&q=p\\1,&q<p\end{cases}}$
Дисперсия	$pq$$pq$
Коэффициент асимметрии	$\frac{q-<!--\; -\; -->p}{\sqrt{pq}}$${\frac {q-p}{{\sqrt {pq}}}}$
Коэффициент эксцесса	$\frac{6p^2-<!--\; -\; -->6p+1}{p(1-<!--\; -\; -->p)}$${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}$
Дифференциальная энтропия	$-<!--\; -\; -->q\ln <!--\; \; -->q-<!--\; -\; -->p\ln <!--\; \; -->p$$-q\ln q-p\ln p$
Производящая функция моментов	$q+p{e}^t$$q+pe^{t}$
Характеристическая функция	$q+p{e}^{it}$$q+pe^{it}$

ОпределениеПравить

Случайная величина $X$$X$  имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: $1$$1$  и $0$$0$  с вероятностями $p$$p$  и $q\equiv <!--\; \equiv \; -->1-<!--\; -\; -->p$$q\equiv 1-p$  соответственно. Таким образом:

$\mathbb{P}(X=1)=p$${\mathbb {P}}(X=1)=p$ ,

$\mathbb{P}(X=0)=q$${\mathbb {P}}(X=0)=q$ .

Принято говорить, что событие $\{X=1\}$$\{X=1\}$  соответствует «успеху», а событие $\{X=0\}$$\{X=0\}$  — «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

СвойстваПравить

Предельное свойствоПравить

Предельное свойство описывается теоремой Пуассона:

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где $p_n$$p_n$  — вероятность «успеха», ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n$$\mu _{n}$  — количество «успехов».

Тогда если

1. $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{p}_n=0;$$\lim _{{n\to \infty }}p_{n}=0;$ 
2. $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}n{p}_n=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->};$$\lim _{{n\to \infty }}np_{n}=\lambda ;$ 
3. $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0,$$\lambda >0,$ 

то $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}P(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=m)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}\frac{{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^m}{m!}.$$\lim _{{n\to \infty }}P(\omega :\mu _{n}(\omega )=m)=e^{{-\lambda }}{\cfrac {\lambda ^{m}}{m!}}.$ 

Моменты распределения БернуллиПравить

$\mathbb{E}[X]=p$${\mathbb {E}}[X]=p$ ,

$\mathrm{D}<!--\; \; -->[X]=p(1-<!--\; -\; -->p)=pq$$\operatorname {D}[X]=p(1-p)=pq$ , так как: $\mathrm{E}<!--\; \; -->X^2-<!--\; -\; -->{\left(\mathrm{E}<!--\; \; -->X\right)}^2=p-<!--\; -\; -->p^2=p\cdot <!--\; \cdot \; -->(1-<!--\; -\; -->p)=pq$$\operatorname {E} X^{2}-\left(\operatorname {E} X\right)^{2}=p-p^{2}=p\cdot (1-p)=pq$ .

Вообще, легко видеть, что

$\mathbb{E}\left[X^n\right]=Pr(X=1)\cdot <!--\; \cdot \; -->1^n+Pr(X=0)\cdot <!--\; \cdot \; -->0^n=p\cdot <!--\; \cdot \; -->1^n+q\cdot <!--\; \cdot \; -->0^n=p=\mathbb{E}[X],\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\Pr(X=1)\cdot 1^{n}+\Pr(X=0)\cdot 0^{n}=p\cdot 1^{n}+q\cdot 0^{n}=p=\mathbb {E} [X],\forall n\in \mathbb {N}$ 

ЗамечаниеПравить

Если независимые случайные величины $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$ , имеют распределение Бернулли с вероятностью успеха $p$$p$ , то

$Y=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i$$Y=\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$ 

имеет биномиальное распределение с $n$$n$  степенями свободы.

См. такжеПравить

• Задача о разорении игрока#Схема Бернулли.

ЛитератураПравить

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4