Биномиальное распределение

Биномиа́льное распределе́ние с параметрами $n$$n$ и $p$$p$ в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из $n$$n$ независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна $p$$p$.

Биномиальное распределение
Функция вероятности
Функция распределения
Обозначение	$B(n,p)$$B(n,p)$
Параметры	$n⩾<!--\; ⩾\; -->0$$n \geqslant 0$ — число «испытаний» $0⩽<!--\; ⩽\; -->p⩽<!--\; ⩽\; -->1$$0\leqslant p\leqslant 1$ — вероятность «успеха»
Носитель	$k\in <!--\; \in \; -->\{0,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}$$k\in \{0,\dots ,n\}$
Функция вероятности	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-<!--\; -\; -->k}$${\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{n-k}$
Функция распределения	$I_{1-<!--\; -\; -->p}(n-<!--\; -\; -->\lfloor <!--\; \lfloor \; -->k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,1+\lfloor <!--\; \lfloor \; -->k\rfloor <!--\; \rfloor \; -->)$$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
Математическое ожидание	$np$$np$
Медиана	одно из $\{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->np\rfloor <!--\; \rfloor \; -->-<!--\; -\; -->1,\lfloor <!--\; \lfloor \; -->np\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,\lfloor <!--\; \lfloor \; -->np\rfloor <!--\; \rfloor \; -->+1\}$$\{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}$
Мода	$\lfloor <!--\; \lfloor \; -->(n+1)p\rfloor <!--\; \rfloor \; -->$$\lfloor (n+1)\,p\rfloor$
Дисперсия	$npq$$npq$
Коэффициент асимметрии	$\frac{q-<!--\; -\; -->p}{\sqrt{npq}}$${\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$
Коэффициент эксцесса	$\frac{1-<!--\; -\; -->6pq}{npq}$${\frac {1-6pq}{npq}}$
Дифференциальная энтропия	$\frac{1}{2}{\log }_2<!--\; \; -->(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}enp(1-<!--\; -\; -->p))+O\left(\frac{1}{n}\right)$${\frac 12}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
Производящая функция моментов	$(q+p{e}^t{)}^n$$(q+pe^{t})^{n}$
Характеристическая функция	$(q+p{e}^{it}{)}^n$$(q+pe^{it})^{n}$

ОпределениеПравить

Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$  — конечная последовательность независимых случайных величин, имеющих одинаковое распределение Бернулли с параметром $p$$p$ , то есть при каждом $i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$i=1,\ldots ,n$  величина $X_i$$X_{i}$  принимает значения $1$$1$  («успех») и $0$$0$  («неудача») с вероятностями $p$$p$  и $q=1-<!--\; -\; -->p$$q=1-p$  соответственно. Тогда случайная величина

$Y=X_1+X_2+\dots <!--\; \dots \; -->+X_n$$Y=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}$ 

имеет биномиальное распределение с параметрами $n$$n$  и $p$$p$ . Это записывается в виде:

$Y\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,p)$$Y\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)$ .

Случайную величину $Y$$Y$  обычно интерпретируют как число успехов в серии из $n$$n$  одинаковых независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$$p$  в каждом испытании.

Функция вероятности задаётся формулой:

$p_Y(k)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathbb{P}(Y=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-<!--\; -\; -->k},k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,n,$$p_{Y}(k)\equiv {\mathbb {P}}(Y=k)={\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{{n-k}},\ \ k=0,\ldots ,n,$ 

где

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=C_n^k=\frac{n!}{(n-<!--\; -\; -->k)!k!}$${\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!\,k!}}$  — биномиальный коэффициент.

Функция распределенияПравить

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

$F_Y(y)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathbb{P}(Y⩽<!--\; ⩽\; -->y)=\underset{k=0}{\overset{\lfloor <!--\; \lfloor \; -->y\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-<!--\; -\; -->k},y\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=\sum \limits _{{k=0}}^{{\lfloor y\rfloor }}{\binom {n}{k}}\,p^{k}q^{{n-k}},\;y\in {\mathbb {R}}$ ,

где $\lfloor <!--\; \lfloor \; -->y\rfloor <!--\; \rfloor \; -->$$\lfloor y\rfloor$  обозначает наибольшее целое, не превосходящее число $y$$y$ , или в виде неполной бета-функции:

$F_Y(y)\equiv <!--\; \equiv \; -->\mathbb{P}(Y⩽<!--\; ⩽\; -->y)=I_{1-<!--\; -\; -->p}(n-<!--\; -\; -->\lfloor <!--\; \lfloor \; -->y\rfloor <!--\; \rfloor \; -->,\lfloor <!--\; \lfloor \; -->y\rfloor <!--\; \rfloor \; -->+1)$$F_{Y}(y)\equiv {\mathbb {P}}(Y\leqslant y)=I_{{1-p}}(n-\lfloor y\rfloor ,\lfloor y\rfloor +1)$ .

МоментыПравить

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t)={\left(p{e}^t+q\right)}^n$$M_{Y}(t)=\left(pe^{t}+q\right)^{n}$ ,

откуда

$\mathbb{E}[Y]=np$${\mathbb {E}}[Y]=np$ ,

$\mathbb{E}\left[Y^2\right]=np(q+np)$${\mathbb {E}}\left[Y^{2}\right]=np(q+np)$ ,

а дисперсия случайной величины.

$\mathbb{D}[Y]=npq$${\mathbb {D}}[Y]=npq$ .

 

Пример биноминального распределения

Свойства биномиального распределенияПравить

• Пусть $Y_1\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,p)$$Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n,p)$  и $Y_2\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,1-<!--\; -\; -->p)$$Y_{2}\sim \mathrm {Bin} (n,1-p)$ . Тогда $p_{Y_1}(k)=p_{Y_2}(n-<!--\; -\; -->k)$$p_{{Y_{1}}}(k)=p_{{Y_{2}}}(n-k)$ .
• Пусть $Y_1\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n_1,p)$$Y_{1}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1},p)$  и $Y_2\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n_2,p)$$Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{2},p)$ . Тогда $Y_1+Y_2\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n_1+n_2,p)$$Y_{1}+Y_{2}\sim {\mathrm {Bin}}(n_{1}+n_{2},p)$ .

Связь с другими распределениямиПравить

• Если $n=1$$n=1$ , то получаем распределение Бернулли.
• Если $n$$n$  большое, то в силу центральной предельной теоремы $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,p)\approx <!--\; \approx \; -->N(np,npq)$${\mathrm {Bin}}(n,p)\approx N(np,npq)$ , где $N(np,npq)$$N(np,npq)$  — нормальное распределение с математическим ожиданием $np$$np$  и дисперсией $npq$$npq$ .
• Если $n$$n$  большое, а $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  — фиксированное число, то $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(n,\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}/n)\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{P}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$${\mathrm {Bin}}(n,\lambda /n)\approx {\mathrm {P}}(\lambda )$ , где $\mathrm{P}(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})$${\mathrm {P}}(\lambda )$  — распределение Пуассона с параметром $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ .
• Если случайные величины $X$$X$  и $Y$$Y$  имеют биномиальные распределения $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(D,p)$$\mathrm {Bin} (D,p)$  и $\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(N-<!--\; -\; -->D,p)$$\mathrm {Bin} (N-D,p)$  соответственно, то условное распределение случайной величины $X$$X$  при условии $X+Y=n$$X+Y=n$  – гипергеометрическое $\mathrm{H}\mathrm{G}(D,N,n)$${\mathrm {HG}}(D,N,n)$ .

См. такжеПравить

• Треугольник Паскаля
• Локальная теорема Муавра — Лапласа