Абсолютная сходимость

Сходящийся ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_n$$\sum a_{n}$ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей $\sum <!--\; \sum \; -->|a_n|$$\sum |a_{n}|$, иначе — сходящимся условно.

Аналогично, если несобственный интеграл $\int <!--\; \int \; -->f(x)dx$$\int f(x)\,dx$ от функции сходится, то он называется сходящимся абсолютно или условно в зависимости от того, сходится или нет интеграл от её модуля $\int <!--\; \int \; -->|f(x)|dx$$\int |f(x)|\,dx$.

В случае общего нормированного пространства модуль в определении заменяется на норму.

РядыПравить

Признаки абсолютной сходимостиПравить

Признак сравненияПравить

Если $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}{N}_0:|a_n|⩽<!--\; ⩽\; -->b_n$$\exists N_{0}:|a_{n}|\leqslant b_{n}$  при $n⩾<!--\; ⩾\; -->N_0$$n\geqslant N_{0}$ , то:

• если ряд $\sum <!--\; \sum \; -->b_n$$\sum b_{n}$  сходится, то ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_n$$\sum a_{n}$  сходится абсолютно
• если ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_n$$\sum a_{n}$  расходится, то ряд $\sum <!--\; \sum \; -->b_n$$\sum b_{n}$  расходится

Согласно критерию Коши, $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N⩾<!--\; ⩾\; -->N_0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}m⩾<!--\; ⩾\; -->n⩾<!--\; ⩾\; -->N:\left|\underset{k=n}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\forall \varepsilon >0\ \exists N\geqslant N_{0}\ \forall m\geqslant n\geqslant N:\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k}\right|\leqslant \varepsilon$ . Значит, $\left|\underset{k=n}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{k=n}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}|a_k|⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{k=n}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k⩽<!--\; ⩽\; -->\left|\underset{k=n}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k\right|⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\left|\sum _{{k=n}}^{{m}}a_{k}\right|\leqslant \sum _{{k=n}}^{{m}}|a_{k}|\leqslant \sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k}\leqslant \left|\sum _{{k=n}}^{{m}}b_{k}\right|\leqslant \varepsilon$ , и по критерию Коши ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_n$$\sum a_{n}$  сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд $\sum <!--\; \sum \; -->b_n$$\sum b_{n}$  сходился, то и ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_n$$\sum a_{n}$  сходился бы.

Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членамиПравить

Пусть $a_1⩾<!--\; ⩾\; -->a_2⩾<!--\; ⩾\; -->a_3⩾<!--\; ⩾\; -->...⩾<!--\; ⩾\; -->0$$a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant ...\geqslant 0$ . Тогда ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$  сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{2}^k{a}_{2^k}=a_1+2a_2+4a_4+8a_8+...$$\sum _{{k=0}}^{{\infty }}2^{{k}}a_{{2^{k}}}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+8a_{8}+...$ 

Доказательство

Обозначим:

$s_n=a_1+a_2+...+a_n$$s_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ 

$t_k=a_1+2a_2+4a_4+...+2^k{a}_{2^k}$$t_{k}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+...+2^{{k}}a_{{2^{k}}}$ 

Поскольку сходимость ряда с неотрицательными членами эквивалентна ограниченности последовательности его частичных сумм, то достаточно показать, что $s_n$$s_{n}$  и $t_k$$t_k$  ограничены или не ограничены одновременно.

При $n<2^{k}$  имеем

$s_n⩽<!--\; ⩽\; -->a_1+(a_2+a_3)+...+(a_{2^k}+...+a_{2^{k+1}-<!--\; -\; -->1})⩽<!--\; ⩽\; -->a_1+2a_2+...+2^k{a}_{2^k}=t_k$$s_{n}\leqslant a_{1}+(a_{2}+a_{3})+...+(a_{{2^{k}}}+...+a_{{2^{{k+1}}-1}})\leqslant a_{1}+2a_{2}+...+2^{{k}}a_{{2^{k}}}=t_{k}$ 

Таким образом, $s_n⩽<!--\; ⩽\; -->t_k$$s_{n}\leqslant t_{k}$ 

С другой стороны, при $n>2^k$$n>2^{k}$ 

$s_n⩾<!--\; ⩾\; -->a_1+a_2+(a_3+a_4)+...+(a_{2^{k-<!--\; -\; -->1}+1}+...+a_{2^k})⩾<!--\; ⩾\; -->\frac{1}{2}{a}_1+a_2+2a_4+...+2^{k-<!--\; -\; -->1}{a}_{2^k}=\frac{1}{2}{t}_k$$s_{n}\geqslant a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+...+(a_{2^{k-1}+1}+...+a_{2^{k}})\geqslant {\frac {1}{2}}a_{1}+a_{2}+2a_{4}+...+2^{k-1}a_{2^{k}}={\frac {1}{2}}t_{k}$ 

Таким образом, $2s_n⩾<!--\; ⩾\; -->t_k$$2s_{n}\geqslant t_{k}$  и последовательности $s_n$$s_{n}$  и $t_k$$t_k$  или обе ограничены, или обе не ограничены.

Признаки Коши и д’АламбераПравить

Признак д’Аламбера

Ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_n$$\sum a_{n}$ 

1. Сходится абсолютно, если $\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|<1$ 
2. Расходится, если $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1$$\varliminf _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|>1$ 
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|⩽<!--\; ⩽\; -->1⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$\varliminf _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|$ 

Признак Коши

Пусть задан ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_n$$\sum a_{n}$  и $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\sqrt[n]{|a_n|}$$\alpha =\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{|a_{n}|}}$ . Тогда

1. Если $\alpha < 1$ , то ряд сходится абсолютно
2. Если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>1$$\alpha >1$ , то ряд расходится
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1$$\alpha =1$ 

Утверждение о сходимости в признаках Коши и Даламбера выводится из сравнения с геометрической прогрессией (со знаменателями $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$$\varlimsup _{{n\to \infty }}\left|{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}\right|$  и $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  соответственно), о расходимости — из того, что общий член ряда не стремится к нулю.

Если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость; если признак Коши не позволяет сделать вывода о сходимости, то и признак Даламбера тоже не позволяет сделать никаких выводов. Признак Коши сильнее признака Даламбера, поскольку существуют ряды, для которых признак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не указывает на сходимость.

Интегральный признак Коши — МаклоренаПравить

Пусть задан ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n,a_n⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n},a_{n}\geqslant 0$  и функция $f(x):\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f(x):\mathbb{R} \to \mathbb{R}$  такая, что:

• $f(x)$$f(x)$  нестрого монотонно убывает: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})$ 
• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n:f(n)=a_n$$\forall \ n:\ f(n)=a_{n}$ 

Тогда ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}a_{n}$  и интеграл $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx$$\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx$  сходятся или расходятся одновременно, причём $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k⩾<!--\; ⩾\; -->1\underset{n=k}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n⩾<!--\; ⩾\; -->\underset{k}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx⩾<!--\; ⩾\; -->\underset{n=k+1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$$\forall k\geqslant 1\ \sum _{{n=k}}^{{\infty }}a_{n}\geqslant \int \limits _{k}^{{\infty }}f(x)dx\geqslant \sum _{{n=k+1}}^{{\infty }}a_{n}$ 

Признак РаабеПравить

Пусть задан ряд $\sum <!--\; \sum \; -->a_n$$\sum a_{n}$ , $a_n>0$$a_{n}>0$  и $R_n=n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-<!--\; -\; -->1\right)$$R_{n}=n\left({\frac {a_{n}}{a_{{n+1}}}}-1\right)$ .

1. Если $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->R_n>1$$\varliminf _{{n\to \infty }}R_{n}>1$ , то ряд сходится
2. Если $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->R_n⩽<!--\; ⩽\; -->1$$\varlimsup _{{n\to \infty }}R_{n}\leqslant 1$ , то ряд расходится
3. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->R_n⩽<!--\; ⩽\; -->1⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->R_n$$\varliminf _{{n\to \infty }}R_{n}\leqslant 1\leqslant \varlimsup _{{n\to \infty }}R_{n}$ 

Признак Раабе основан на сравнении с обобщённым гармоническим рядом

Действия над рядамиПравить

• Если оба ряда $\sum <!--\; \sum \; -->a_n$$\sum a_{n}$  и $\sum <!--\; \sum \; -->b_n$$\sum b_{n}$  сходятся абсолютно, то и их сумма $\sum <!--\; \sum \; -->(a_n+b_n)$$\sum (a_{n}+b_{n})$  сходится абсолютно
• Если хотя бы один из рядов $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$$\sum _{{n=0}}^{\infty }a_{n}$  и $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_n$$\sum _{{n=0}}^{\infty }b_{n}$  сходится абсолютно, то их произведение по Коши $\sum <!--\; \sum \; -->c_n,c_n=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_k{b}_{n-<!--\; -\; -->k}$$\sum c_{n},c_{n}=\sum _{{k=0}}^{n}a_{k}b_{{n-k}}$  сходится, если же оба ряда сходятся абсолютно, то и их произведение сходится абсолютно
• Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда каждая его перестановка сходится. При этом все перестановки абсолютно сходящегося ряда сходятся к одной и той же сумме.

ПримерыПравить

Рассмотрим ряд $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+...$${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+...$ . Для этого ряда:

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}=0$ 
• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\sqrt[2n]{\frac{1}{2^n}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {2n}]{{\frac {1}{2^{n}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}$ 
• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(\frac{3}{2}\right)}^n=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}=+\infty$ 

Таким образом, признак Коши указывает на сходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Рассмотрим ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{2}^{n-<!--\; -\; -->(-<!--\; -\; -->1{)}^n}$$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}2^{{n-(-1)^{n}}}$ 

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{2^{n+1+1}}{2^{n-<!--\; -\; -->1}}=8$$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {2^{{n+1+1}}}{2^{{n-1}}}}=8$ 
• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{2^{n+1-<!--\; -\; -->1}}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}$$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}{\frac {2^{{n+1-1}}}{2^{{n+1}}}}={\frac {1}{2}}$ 
• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}2\sqrt[n]{2^{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}}=2$$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}2{\sqrt[ {n}]{2^{{(-1)^{n}}}}}=2$ 

Таким образом, признак Коши указывает на расходимость, признак Даламбера же не позволяет сделать никаких заключений.

Ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$  сходится при $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>1$$\alpha >1$  и расходится при $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->1$$\alpha \leqslant 1$ , однако:

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=1$$\varliminf _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$ 
• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\sqrt[n]{a_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{n}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}/n}=1$$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\sqrt[ {n}]{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}n^{{\alpha /n}}=1$ 
• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(\frac{n}{n+1}\right)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=1$$\varlimsup _{{n\to \infty }}{\frac {a_{{n+1}}}{a_{n}}}=\lim _{{n\to \infty }}\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=1$ 

Таким образом, признаки Коши и Даламбера не позволяют сделать никаких выводов.

Ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{n}$$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{n}}$  сходится условно по признаку Лейбница, но не абсолютно, так как гармонический ряд $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left|\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{n}\right|=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n}$$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}\left|{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right|=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {1}{n}}$  расходится.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого родаПравить

Определение

Несобственный интеграл первого рода $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx$$\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}|f(x)|dx$$\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$ .

Свойства

• из сходимости интеграла $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}|f(x)|dx$$\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$  вытекает сходимость интеграла $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx$$\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}f(x)dx$ .
• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
• Если интеграл $\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}|f(x)|dx$$\int \limits _{{a}}^{{+\infty }}|f(x)|dx$  расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго родаПравить

Определение

Пусть $f(x)$$f(x)$  определена и интегрируема на $[a;b-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}]\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\in <!--\; \in \; -->(0;b-<!--\; -\; -->a)$$[a;b-\varepsilon \ ]\quad \forall \varepsilon \ \in (0;b-a)$ , неограничена в левой окрестности точки $b$$b$ . Несобственный интеграл второго рода $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx$$\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx$  называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}|f(x)|dx$$\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$ .

Свойства

• из сходимости интеграла $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}|f(x)|dx$$\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$  вытекает сходимость интеграла $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx$$\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx$ .
• Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
• Если интеграл $\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}|f(x)|dx$$\int \limits _{{a}}^{{b}}|f(x)|dx$  расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.

ИсточникиПравить

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.

См. такжеПравить

• Условная сходимость
• Безусловная сходимость