Задача о разорении игрока

Задача о разорении игрока — задача из области теории вероятностей. Подробно рассматривалась российским математиком А. Н. Ширяевым в монографии «Вероятность».

Траектории справедливой игры длиною 1000 шагов; коридор блуждания частицы обозначен горизонтальными линиями

ФормулировкаПравить

За столом сидят два игрока. У первого в распоряжении находится $-A\ (A<0, -A>0)$  рублей, у второго в распоряжении находится $B(B>0)$$B\ (B>0)$  рублей. Перед ними на столе лежит асимметричная монета (вероятность, что выпадет аверс, может равняться любому числу от 0 до 1 включительно). Если на монете выпадает аверс, то рубль выигрывает первый игрок (второй игрок выплачивает первому 1 рубль), а если выпадает реверс, то первый игрок платит второму один рубль. Требуется найти вероятность того, что один из игроков проиграется в ноль за $n$$n$  шагов, и вероятность проигрыша каждого азартного игрока. Также необходимо вычислить среднюю длину игры.

Данная ситуация может быть смоделирована подобным образом: имеется блуждающая частица и коридор $[A;B]$$[A;B]$ . Рассматривается вероятность того, что частица выйдет из коридора за $n$$n$  шагов (проскочит через верхнюю или нижнюю стенку).

Схема БернуллиПравить

Рассмотрим схему Бернулли с $n$$n$  испытаниями.

Пусть $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{A},\mathbb{P})$$(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$  — вероятностное пространство, где

• $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:<!--\; :\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=(x_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x_n),x_i=\pm <!--\; \pm \; -->1\}$$\Omega = \bigl\{\omega\colon \omega=(x_1;\ldots;x_n),\ x_i = \pm 1 \bigr\}$  – элементарные исходы,
• $\mathcal{A}=\{A_i\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\}$$\mathcal{A} = \{ A_i \subseteq \Omega \}$  — алгебра подмножеств вероятностного пространства,
• $\mathbb{P}(\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\})=p^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}\cdot <!--\; \cdot \; -->q^{n-<!--\; -\; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$$\mathbb{P}\bigl(\{ \omega \}\bigr) = p^{\nu(\omega)}\cdot q^{n-\nu(\omega)}$ , где $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$\nu(\omega)$  — количество выпавших в данной последовательность единиц.

В выражении выше число выпавших единиц можно найти так: $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i+n}{2}$$\nu(\omega) = \frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i + n}{2}$ .

Введём последовательность бернуллиевских случайных величин:

$i=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1;n},{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}):<!--\; :\; -->\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=1\})=p,\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=-<!--\; -\; -->1\})=q,p+q=1.$$i={\overline {1;n}},\quad \xi _{i}(\omega )\colon \quad \mathbb {P} {\bigl (}\{\xi _{i}=1\}{\bigr )}=p,\quad \mathbb {P} {\bigl (}\{\xi _{i}=-1\}{\bigr )}=q,\quad p+q=1.$ 

Подзадача о нормированности вероятностиПравить

Доказать, что $\underset{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathbb{P}(\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\})=1.$$\sum\limits_{\omega\in\Omega} \mathbb{P}\bigl(\{\omega\}\bigr) = 1.$ 

Решение

$\underset{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathbb{P}(\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\})=\underset{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}^{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i+n}{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->q^{n-<!--\; -\; -->\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i+n}{2}}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->A_k}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}^{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(x_i+1)}{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->q^{\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(1-<!--\; -\; -->x_i)}{2}}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k{p}^k{q}^{n-<!--\; -\; -->k}.$$\sum \limits _{\omega \in \Omega }\mathbb {P} {\bigl (}\{\omega \}{\bigr )}=\sum \limits _{\omega \in \Omega }p^{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}+n}{2}}\cdot q^{n-{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}+n}{2}}}=\sum \limits _{k=0}^{n}\sum \limits _{\omega \in A_{k}}p^{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}+1)}{2}}\cdot q^{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(1-x_{i})}{2}}=\sum \limits _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}.$  Это справедливо в силу того, что $\frac{x_i+1}{2}\in <!--\; \in \; -->\{0;1\}.$$\frac{x_i+1}{2}\in \{ 0;1 \}.$ 

$\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{C}_n^k{p}^k{q}^{n-<!--\; -\; -->k}=(p+q{)}^n=1$$\sum\limits_{k=0}^n C^k_n p^k q^{n-k} = (p+q)^n = 1$ , поскольку по условию $p+q=1$$p+q=1$ . $\mathrm{◼<!--\; ◼\; -->}$$\blacksquare$ 

Подзадача о независимости случайных величин ξ_iПравить

Доказать, что ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1$$\xi_1$  и ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2$$\xi_2$  независимы.

Решение

Независимость случайных величин означает, что

$\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1\}\cap <!--\; \cap \; -->\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2=1\})=\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1\})\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2=1\}),$$\mathbb {P} {\bigl (}\{\xi _{1}=1\}\cap \{\xi _{2}=1\}{\bigr )}=\mathbb {P} {\bigl (}\{\xi _{1}=1\}{\bigr )}\mathbb {P} {\bigl (}\{\xi _{2}=1\}{\bigr )},$ 

покажем это:

$\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1\}\cap <!--\; \cap \; -->\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2=1\})=\mathbb{P}(\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:<!--\; :\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=(x_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x_n),x_1=1,x_2=1\})=$$\mathbb{P}\bigl( \{\xi_1=1\}\cap\{\xi_2=1\} \bigr) = \mathbb{P} \bigl(\{ \omega\colon \omega=(x_1;\ldots;x_n),\ x_1=1,\ x_2=1 \} \bigr) =$

$=\underset{\begin{array}{c}{x}_3=\pm <!--\; \pm \; -->1\\ \dots <!--\; \dots \; -->\\ x_n=\pm <!--\; \pm \; -->1\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}^{\frac{2+\underset{i=3}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i+n}{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->q^{n-<!--\; -\; -->\frac{2+\underset{i=3}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i+n}{2}}=p^2\underset{\begin{array}{c}{x}_3=\pm <!--\; \pm \; -->1\\ \dots <!--\; \dots \; -->\\ x_n=\pm <!--\; \pm \; -->1\end{array}}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}^{\frac{\underset{i=3}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i+(n-<!--\; -\; -->2)}{2}}\cdot <!--\; \cdot \; -->q^{(n-<!--\; -\; -->2)-<!--\; -\; -->\frac{\underset{i=3}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i+(n-<!--\; -\; -->2)}{2}}=p^2\cdot <!--\; \cdot \; -->1.$$=\sum\limits_{\begin{smallmatrix}x_3=\pm 1 \\ \ldots{} \\ x_n=\pm 1\end{smallmatrix}} p^{\frac{2+\sum\limits_{i=3}^n x_i + n}{2}}\cdot q^{n - \frac{2+\sum\limits_{i=3}^n x_i + n}{2}} = p^2 \sum\limits_{\begin{smallmatrix}x_3=\pm 1 \\ \ldots{} \\ x_n=\pm 1\end{smallmatrix}} p^{\frac{\sum\limits_{i=3}^n x_i + (n-2)}{2}}\cdot q^{(n-2) - \frac{\sum\limits_{i=3}^n x_i + (n-2)}{2}} = p^2 \cdot 1.$  $\mathrm{◼<!--\; ◼\; -->}$$\blacksquare$

Случайное блужданиеПравить

Для схемы Бернулли договоримся о следующем смысле случайной величины ξ: ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=+1$$\xi_i = +1$  означает, что второй игрок платит первому, а ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=-<!--\; -\; -->1$$\xi_i = -1$  – первый игрок второму.

Введём новое обозначение:

$S_0=0$$S_0 = 0$ , $S_k={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k,1⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->n$$S_k = \xi_1 + \ldots{} + \xi_k, \quad 1\leqslant k \leqslant n$ .

Число $n$$n$  равно длительности игры, а последовательность $(S_k{)}_{k⩽<!--\; ⩽\; -->n}$$(S_k)_{k\leqslant n}$  можно рассматривать как траекторию случайного блуждания некоторой частицы, выходящей из нуля, при этом очевидно равенство $S_{k+1}=S_k+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{k+1}$$S_{k+1} = S_k + \xi_{k+1}$ , а само $S_k$$S_k$  означает выигрыш первого игрока у второго (который может быть отрицательным).

Пусть $A$$A$ , $B$$B$  — два целых числа, $A⩽<!--\; ⩽\; -->0$$A\leqslant 0$ , $B⩾<!--\; ⩾\; -->0$$B \geqslant 0$ . Требуется найти, с какой вероятностью за $n$$n$  шагов будет осуществлён выход частицы из коридора, ограниченного $A$$A$  и $B$$B$ .

Далее, пусть $x$$x$  — целое число, $x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\cap <!--\; \cap \; -->[A;B]$$x\in \mathbb{Z}\cap [A;B]$ . Пусть также для $0⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->n$$0\leqslant k \leqslant n$  верно, что $S_k^x=x+S_k$$S^x_k = x+S_k$  (что означает, что игроки начинали играть с ненулевым капиталом в распоряжении). Пусть ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x=min\{l:<!--\; :\; -->0⩽<!--\; ⩽\; -->l⩽<!--\; ⩽\; -->k,S_l^x=\{A\mathrm{o}\mathrm{r}B\}\}$$\tau^x_k = \min \bigl\{ l\colon 0\leqslant l \leqslant k, S^x_l = \{A \mathrm{~or~} B \} \bigr\}$ . Условимся считать, что ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x=k$$\tau^x_k = k$ , если $A < S_l^x < B\quad \forall l\colon 0\leqslant l \leqslant k$ . Если частица так и не пересекла границы, то $x_k$$x_k$  не определён.

Для каждого $0⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->n$$0\leqslant k \leqslant n$  и $x\in <!--\; \in \; -->[A;B]\cap <!--\; \cap \; -->\mathbb{Z}$$x\in [A; B]\cap \mathbb{Z}$  момент ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x$$\tau^x_k$  называется моментом остановки, который является случайной величиной, определённой на пространстве элементарных событий $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ . $\forall l<k\quad \{\omega\colon \tau^x_k = l\}$  — это событие, состоящее в том, что случайное блуждание $\{S_i^x:<!--\; :\; -->0⩽<!--\; ⩽\; -->i⩽<!--\; ⩽\; -->k\}$$\{S^x_i\colon 0\leqslant i \leqslant k \}$ , начинающееся в точке $x$$x$ , выйдет из интервала $[A;B]$$[A;B]$  в момент $l$$l$ . Введём новые обозначения: ${\mathcal{A}}_k^x=\underset{0⩽<!--\; ⩽\; -->l⩽<!--\; ⩽\; -->k}{\coprod <!--\; \coprod \; -->}\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:<!--\; :\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x=l,S_l^x=A\}$$\mathcal{A}^x_k = \coprod\limits_{0\leqslant l \leqslant k}\{ \omega\colon \tau^x_k= l, \ S^x_l = A \}$ , ${\mathcal{B}}_k^x=\underset{0⩽<!--\; ⩽\; -->l⩽<!--\; ⩽\; -->k}{\coprod <!--\; \coprod \; -->}\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:<!--\; :\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x=l,S_l^x=B\}$$\mathcal{B}^x_k = \coprod\limits_{0\leqslant l \leqslant k}\{ \omega\colon \tau^x_k= l, \ S^x_l = B \}$  для $0⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->n$$0\leqslant k \leqslant n$ . Пусть ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k(x)=\mathbb{P}({\mathcal{A}}_k^x)$$\alpha_k(x) = \mathbb{P} (\mathcal{A}^x_k)$ , ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_k(x)=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x)$$\beta_k(x) = \mathbb{P} (\mathcal{B}^x_k)$  — вероятности выхода частицы за время $[0;k]$$[0;k]$  из интервала $[A;B]$$[A;B]$  соответственно в точках $A$$A$  и $B$$B$ .

Пусть $A<x<B$ ; очевидно, что ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0(x)={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_0(x)=0$$\alpha_0(x) = \beta_0 (x) = 0$  (пока игра не началась, частица находится внутри интервала с вероятностью 1). Пусть теперь $0⩽<!--\; ⩽\; -->k⩽<!--\; ⩽\; -->n$$0\leqslant k \leqslant n$ . Тогда по формуле полной вероятности ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_k(x)=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x)=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->S_1^x=x+1)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1\})+\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->S_1^x=x-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=-<!--\; -\; -->1\}).$$\beta_k (x) = \mathbb{P} (\mathcal{B}^x_k) = \mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid S_1^x = x+1 )\cdot \mathbb{P}\bigl(\{\xi_1 = 1 \}\bigr) + \mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid S_1^x = x-1 )\cdot \mathbb{P}\bigl(\{ \xi_1 = -1 \}\bigr).$ 

Подзадача о рекуррентностиПравить

Доказать, что

(1) $\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->S_1^x=x+1)=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1})$$\mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid S_1^x = x+1 ) = \mathbb{P} ( \mathcal{B}^{x+1}_{k-1} )$ ,

(2) $\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->S_1^x=x-<!--\; -\; -->1)=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x-<!--\; -\; -->1})$$\mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid S_1^x = x-1 ) = \mathbb{P} ( \mathcal{B}^{x-1}_{k-1} )$ .

Доказательство.

(1) Докажем, что $\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->S_1^x=x+1)=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1})$$\mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid S_1^x = x+1 ) = \mathbb{P} ( \mathcal{B}^{x+1}_{k-1} )$ .

${\mathcal{B}}_k^x=\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:<!--\; :\; -->(x;x+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k)\in <!--\; \in \; -->B_k^x\}$$\mathcal{B}^x_k = \bigl\{ \omega\colon (x;x+\xi_1;\ldots{};x+\xi_1+\ldots{}+\xi_k) \in B^x_k \bigr\}$ , где $B_k^x$$B^x_k$  — множество траекторий вида $(x;x+x_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x+x_1+\dots <!--\; \dots \; -->+x_k),x_i=\pm <!--\; \pm \; -->1$$(x;x+x_1;\ldots{};x+x_1+\ldots{}+x_k),\quad x_i=\pm 1$ , которые за время $[0;k]$$[0;k]$  впервые выходят из интервала $(A;B)$$(A;B)$  в точке $B$$B$  (показано на рисунке). Если случайный вектор попадает в подходящую траекторию, то он попадает в множество $\mathcal{B}$${\mathcal {B}}$ . Представим множество $B_k^x$$B_k^x$  как $B_k^{x;x+1}\bigsqcup <!--\; \bigsqcup \; -->B_k^{x;x-<!--\; -\; -->1}$$B_k^{x;x+1}\sqcup B_k^{x;x-1}$ . Дизъюнктное объединение правомерно по причине того, что у любой частицы, проходящей по траектории, $x_1=\pm <!--\; \pm \; -->1$$x_1=\pm 1$ . $B_k^{x;x+1}$$B_k^{x;x+1}$  — те траектории из $B_k^x$$B_k^x$ , для которых $x_1=1$$x_1=1$ . $B_k^{x;x-<!--\; -\; -->1}$$B_k^{x;x-1}$  — те траектории из $B_k^x$$B_k^x$ , для которых $x_1=-<!--\; -\; -->1$$x_{1}=-1$ . Заметим, что каждая траектория $(x;x+1;x+1+x_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x+1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_k)$$(x;x+1;x+1+x_2;\ldots{};x+1+x_2+\ldots+x_k)$  из $B_k^{x;x+1}$$B_k^{x;x+1}$  находится в однозначном соответствии с траекторией $(x+1;x+1+x_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x+1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_k)$$(x+1;x+1+x_2;\ldots{};x+1+x_2+\ldots+x_k)$  из $B_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1}$$B_{k-1}^{x+1}$ . Взаимно-однозначное соответствие доказывается от противного. Предположим, что $x_1=-<!--\; -\; -->1$$x_1 = -1$  (неоднозначное соответствие); тогда данная траектория $(x;x-<!--\; -\; -->1;x-<!--\; -\; -->1+x_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x-<!--\; -\; -->1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_k)$$(x;x-1;x-1+x_2;\ldots;x-1+x_2+\ldots+x_k)$  не сможет вывести частицу из коридора за $k$$k$  шагов (а только лишь за $k+2$$k+2$  из-за изначального отдаления от верхней стенки коридора). В обратную сторону соответствие является также однозначным из определения: $S_{k+1}=S_k+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{k+1}$$S_{k+1} = S_k + \xi_{k+1}$ . Из этого следует, что $\mathbb{P}(\{(x+1;x+1+x_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x+1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_k)\in <!--\; \in \; -->B_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1}\})=\mathbb{P}(\{(x+1;x+1+x_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x+1+x_1+\dots <!--\; \dots \; -->+x_{k-<!--\; -\; -->1})\in <!--\; \in \; -->B_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1}\})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\mathbb{P}({\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1})$$\mathbb{P} \Bigl(\big\{ (x+1;x+1+x_2;\ldots; x+1+x_2+\ldots+x_k) \in B_{k-1}^{x+1} \bigr\} \Bigr) = \mathbb{P} \Bigl( \bigl\{ (x+1;x+1+x_1;\ldots; x+1+x_1+\ldots+x_{k-1}) \in B_{k-1}^{x+1} \bigr\} \Bigr) \mathrel{\stackrel{\rm def}=} \mathbb{P}(\mathcal{B}_{k-1}^{x+1})$  (так как ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i$$\xi _{i}$  суть независимые одинаково распределённые случайные величины).

Существует и другой способ доказательства:

$\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->S_1^x=x+1)=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1)=\mathbb{P}((x;x+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k)\in <!--\; \in \; -->B_k^x\mid <!--\; \mid \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1)=$$\mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid S_1^x = x+1 ) = \mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid \xi_1 = 1 ) = \mathbb{P} \bigl( (x;x+\xi_1;\ldots{};x+\xi_1+\ldots{}+\xi_k)\in B^x_k \mid \xi_1 = 1 \bigr) =$

$=\frac{\mathbb{P}((x;x+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k)\in <!--\; \in \; -->B_k^x\cap <!--\; \cap \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1)}{\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1\})}=\frac{\mathbb{P}((x;x+1;\dots <!--\; \dots \; -->;x+1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k)\in <!--\; \in \; -->B_k^x\cap <!--\; \cap \; -->{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1)}{\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1\})}=$$=\frac{\mathbb{P} \bigl( (x;x+\xi_1;\ldots{};x+\xi_1+\ldots{}+\xi_k)\in B^x_k \cap \xi_1 = 1 \bigr)}{\mathbb{P}(\{ \xi_1 = 1 \})} = \frac{\mathbb{P} \bigl( (x;x+1;\ldots{};x+1+\ldots{}+\xi_k)\in B^x_k \cap \xi_1 = 1 \bigr)}{\mathbb{P}(\{ \xi_1 = 1 \})} =$

$=\mathbb{P}(\{(x;x+1;x+1+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x+1+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_2+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_k)\in <!--\; \in \; -->B_k^x\})=\mathbb{P}(\{(x;x+1;x+1+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x+1+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1})\in <!--\; \in \; -->B_k^x\})=$$=\mathbb{P}\bigl( \{ (x;x+1;x+1+\xi_2;\ldots{};x+1+\xi_2+\ldots{}+\xi_k)\in B_k^x \} \bigr) = \mathbb{P}\bigl( \{ (x;x+1;x+1+\xi_1;\ldots{};x+1+\xi_1+\ldots{}+\xi_{k-1})\in B_k^x \} \bigr) =$

$=\mathbb{P}(\{(x;x+1;x+1+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x+1+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1})\in <!--\; \in \; -->B_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1}\})=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1})={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}(x+1)$$=\mathbb{P}\bigl( \{ (x;x+1;x+1+\xi_1;\ldots{};x+1+\xi_1+\ldots{}+\xi_{k-1})\in B_{k-1}^{x+1} \} \bigr) = \mathbb{P} (\mathcal{B}_{k-1}^{x+1}) = \beta_{k-1}(x+1)$ .

Это справедливо потому, что вероятности независимы (это было доказано ранее).

(2) Аналогично докажем, что $\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->S_1^x=x-<!--\; -\; -->1)=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1})$$\mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid S_1^x = x-1 ) = \mathbb{P} ( \mathcal{B}^{x+1}_{k-1} )$ .

Каждая траектория $(x;x-<!--\; -\; -->1;x-<!--\; -\; -->1+x_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x-<!--\; -\; -->1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_k)$$(x;x-1;x-1+x_2;\ldots{};x-1+x_2+\ldots+x_k)$  из $B_k^{x;x+1}$$B_k^{x;x+1}$  находится в однозначном соответствии с траекторией $(x-<!--\; -\; -->1;x-<!--\; -\; -->1+x_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x-<!--\; -\; -->1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_k)$$(x-1;x-1+x_2;\ldots{};x-1+x_2+\ldots+x_k)$  из $B_{k-<!--\; -\; -->1}^{x-<!--\; -\; -->1}$$B_{k-1}^{x-1}$ . Отсюда $\mathbb{P}(\{(x-<!--\; -\; -->1;x-<!--\; -\; -->1+x_2;\dots <!--\; \dots \; -->;x-<!--\; -\; -->1+x_2+\dots <!--\; \dots \; -->+x_k)\in <!--\; \in \; -->B_{k-<!--\; -\; -->1}^{x-<!--\; -\; -->1}\})=\mathbb{P}(\{(x-<!--\; -\; -->1;x-<!--\; -\; -->1+x_1;\dots <!--\; \dots \; -->;x-<!--\; -\; -->1+x_1+\dots <!--\; \dots \; -->+x_{k-<!--\; -\; -->1})\in <!--\; \in \; -->B_{k-<!--\; -\; -->1}^{x-<!--\; -\; -->1}\})\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\mathbb{P}({\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x-<!--\; -\; -->1}).$$\mathbb{P} \Bigl( \bigl\{ (x-1;x-1+x_2;\ldots; x-1+x_2+\ldots+x_k) \in B_{k-1}^{x-1} \bigr\} \Bigr) = \mathbb{P} \Bigl( \bigl\{ (x-1;x-1+x_1;\ldots; x-1+x_1+\ldots+x_{k-1}) \in B_{k-1}^{x-1} \bigr\} \Bigr) \mathrel{\stackrel{\rm def}=} \mathbb{P}(\mathcal{B}_{k-1}^{x-1}).$  $\mathrm{◼<!--\; ◼\; -->}$$\blacksquare$ 

Вывод рекуррентного соотношенияПравить

Из уравнения для ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_k(x)$$\beta_k(x)$  следует, что для $x\in <!--\; \in \; -->(A;B)$$x\in (A;B)$  и $k⩽<!--\; ⩽\; -->n$$k\leqslant n$  верно:

$\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x)=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->S_1^x=x+1)\cdot <!--\; \cdot \; -->p+\mathbb{P}({\mathcal{B}}_k^x\mid <!--\; \mid \; -->S_1^x=x-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->q=\mathbb{P}({\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1})\cdot <!--\; \cdot \; -->p+\mathbb{P}({\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x-<!--\; -\; -->1})\cdot <!--\; \cdot \; -->q=p{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}(x+1)+q{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}(x-<!--\; -\; -->1).$$\mathbb{P}(\mathcal{B}_k^x) = \mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid S_1^x = x+1 )\cdot p + \mathbb{P} ( \mathcal{B}^x_k \mid S_1^x = x-1 )\cdot q = \mathbb{P} ( \mathcal{B}^{x+1}_{k-1}) \cdot p + \mathbb{P} ( \mathcal{B}^{x-1}_{k-1})\cdot q = p\beta_{k-1}(x+1) + q\beta_{k-1}(x-1).$ 

${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_l(B)=1$$\beta_l(B)= 1$ , ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_l(A)=0$$\beta_l(A)=0$  для $l\in <!--\; \in \; -->[0;n]$$l\in[0;n]$ .

Формула полной вероятности также даёт нам следующий результат: ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k(x)=p{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}(x+1)+q{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}(x-<!--\; -\; -->1)$$\alpha_k(x) = p\alpha_{k-1}(x+1) + q\alpha_{k-1}(x-1)$ .

Также отметим, что ${\mathcal{B}}_{k-<!--\; -\; -->1}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathcal{B}}_k$$\mathcal{B}_{k-1} \subset \mathcal{B}_{k}$ , и поэтому ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}(x)⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_k(x)⩽<!--\; ⩽\; -->1$$\beta_{k-1}(x)\leqslant \beta_k(x)\leqslant 1$  для $k⩽<!--\; ⩽\; -->n$$k \leqslant n$ . Это утверждение верно, так как к любой траектории, выводящей частицу за меньшее количество шагов, можно прибавить в начало один шаг ($x_{j-<!--\; -\; -->1}=\pm <!--\; \pm \; -->1$$x_{j-1}=\pm 1$ ), на котором частица может прийти в точку $(j;S_j^x)$$(j;S^x_{j})$  как из $(j-<!--\; -\; -->1;S_j^x-<!--\; -\; -->1)$$(j-1;S^x_{j}-1)$  (для ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_j=1$$\xi_j=1$ ), так и из $(j-<!--\; -\; -->1;S_j^x+1)$$(j-1;S^x_{j}+1)$  ($j⩽<!--\; ⩽\; -->k$$j\leqslant k$ ).

Нахождение вероятностейПравить

При достаточно больших $n$$n$  вероятность ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n(x)$$\beta_n (x)$  близка к $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta(x)$  — решению уравнения $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=p\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x+1)+q\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x-<!--\; -\; -->1)$$\beta(x) = p\beta(x+1) + q\beta(x-1)$  при тех условиях, что $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(B)=1$$\beta(B)=1$  (выход произошёл сразу же из точки $B$$B$  — конец игры, выиграл первый игрок), $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(A)=0$$\beta(A)=0$  (первый игрок никогда не выиграет, если выход произойдёт мгновенно в точке $A$$A$ ). Эти условия следуют из того, что $\underset{l\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_l(B)=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(B)$$\lim\limits_{l\rightarrow\infty} \beta_l(B) = \beta(B)$ . Это также будет доказано в этом разделе.

Сначала получим решение уравнения $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=p\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x+1)+q\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x-<!--\; -\; -->1)$$\beta(x) = p\beta(x+1) + q\beta(x-1)$ . Пусть игра несправедливая ($p\ne <!--\; \ne \; -->q$$p\ne q$ ). В таком случае найдём корни уравнения, то есть $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta(x)$ . Одно частное решение видно сразу: $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}=a$$\beta(x) = \mathrm{const} = a$ . Другое решение найдём, воспользовавшись тем, что $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta(x)$  — функция. Целесообразно употребить выражение с отношением $\frac{q}{p}$$\frac{q}{p}$ , учитывая, что $p+q=1$$p+q=1$ : ${\left(\frac{q}{p}\right)}^x=\frac{q^x(p+q)}{p^x}=\frac{q^x}{p^{x-<!--\; -\; -->1}}+\frac{q^{x+1}}{p^x}=p\frac{q^{x+1}}{p^{x+1}}+q\frac{q^{x-<!--\; -\; -->1}}{p^{x-<!--\; -\; -->1}}=p{\left(\frac{q}{p}\right)}^{x+1}+q{\left(\frac{q}{p}\right)}^{x-<!--\; -\; -->1}$$\left( \frac{q}{p} \right)^x = \frac{q^x(p+q)}{p^x} = \frac{q^x}{p^{x-1}} + \frac{q^{x+1}}{p^x} = p\frac{q^{x+1}}{p^{x+1}} + q\frac{q^{x-1}}{p^{x-1}} = p\left(\frac{q}{p}\right)^{x+1} + q\left(\frac{q}{p}\right)^{x-1}$ . Отсюда правомерно предположить, что $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=b\cdot <!--\; \cdot \; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^x$$\beta(x) = b\cdot \left(\frac{q}{p}\right)^x$ . Добавление константы ничего не изменит благодаря тому, что $p+q=1$$p+q=1$ .

Теперь рассмотрим общее решение: $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=a+b{\left(\frac{q}{p}\right)}^x$$\beta(x) = a + b\left(\frac{q}{p}\right)^x$ . Воспользуемся теми условиями, что $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(A)=a+b{\left(\frac{q}{p}\right)}^A=0$$\beta(A) = a+b\left(\frac{q}{p}\right)^A=0$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(B)=a+b{\left(\frac{q}{p}\right)}^B=1$$\beta(B) = a+b\left(\frac{q}{p}\right)^B=1$ , и получим, что $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)-<!--\; -\; -->0}{1-<!--\; -\; -->0}=\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(A)}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(B)-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(A)}=\frac{a+b{\left(\frac{q}{p}\right)}^x-<!--\; -\; -->\left(a+b{\left(\frac{q}{p}\right)}^A\right)}{a+b{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->\left(a+b{\left(\frac{q}{p}\right)}^A\right)}=\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^x-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}.$$\beta(x) = \frac{\beta(x)-0}{1-0} = \frac{\beta(x)-\beta(A)}{\beta(B)-\beta(A)} = \frac{a + b\left( \frac{q}{p}\right)^{x} - \left( a + b\left( \frac{q}{p}\right)^{A} \right)}{a + b\left( \frac{q}{p}\right)^{B} - \left( a + b\left( \frac{q}{p}\right)^{A} \right)} = \frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{x}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}.$ 

Подзадача о единственности решенияПравить

Докажем единственность решения данной задачи. Для этого покажем, что любое решение задачи $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=p\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x+1)+q\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x-<!--\; -\; -->1)$$\beta(x) = p\beta(x+1) + q\beta(x-1)$  с граничными условиями может быть представлено в виде $\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^x-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}$$\frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{x}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}$ .

Решение

Рассмотрим некоторое решение $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(x)$$\check \beta(x)$  при условиях $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(A)=0$$\check\beta (A)=0$ , $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(B)=1$$\check\beta(B)=1$ . Тогда всегда можно подобрать такие константы $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{a}$$\check a$  и $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{b}$$\check b$ , что $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{a}+\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{b}{\left(\frac{q}{p}\right)}^A=\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(A)$$\check a + \check b \left( \frac{q}{p}\right)^{A} = \check\beta(A)$ , $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{a}+\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{b}{\left(\frac{q}{p}\right)}^{A+1}=\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(A+1)$$\check a + \check b\left( \frac{q}{p}\right)^{A+1} = \check \beta(A+1)$ . Тогда из уравнения поставленной задачи следует, что $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(A+2)=\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{a}+\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{b}{\left(\frac{q}{p}\right)}^{A+2}$$\check\beta(A+2) = \check a + \check b \left( \frac{q}{p}\right)^{A+2}$ . Тогда в общем случае $\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}(x)=\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{a}+\stackrel{ˇ<!--\; ˇ\; -->}{b}{\left(\frac{q}{p}\right)}^x$$\check \beta(x) = \check a + \check b\left( \frac{q}{p}\right)^{x}$ . Следовательно, решение $\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^x-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}$$\frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{x}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}$  является единственным. Точно такой же ход рассуждений может быть применён и к $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)$$\alpha(x)$ . $\mathrm{◼<!--\; ◼\; -->}$$\blacksquare$ 

Предельная сходимостьПравить

Рассмотрим вопрос о быстроте предельной сходимости ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n(x)$$\alpha_n(x)$  и ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n(x)$$\beta_n(x)$  к $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)$$\alpha(x)$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta(x)$ . Пусть блуждание начинается из начала координат ($x=0$$x=0$ ). Для простоты обозначим ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n(0)={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$\alpha_n(0)=\alpha_n$ , ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n(0)={\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n$$\beta_n(0)=\beta_n$ , ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n=1-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n$$\gamma_n = 1-\alpha_n-\beta_n$ . Иными словами, ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n$$\gamma_n$  — это единица минус сумма вероятностей выхода частицы из коридора — вероятность того, что она останется блуждать в коридоре: $\gamma_n = \mathbb{P} \{ \omega\colon A<S_k<B; 0\leqslant k \leqslant n \}$ . $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  представляет собой событие $\bigcap\limits_{0\leqslant k \leqslant n} \{ A<S_k<B \}$ . Рассмотрим число $n=rm$$n=rm$ , где $r,m\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}$$r,m\in \mathbb{Z}$ , и цепочку случайных величин ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_n:<!--\; :\; -->{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1=\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i,{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2=\underset{i=m+1}{\overset{2m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_r=\underset{i=m(r-<!--\; -\; -->1)}{\overset{rm}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i$$\zeta_n\colon \zeta_1 = \sum\limits_{i=1}^m \xi_i,~\zeta_2 = \sum\limits_{i=m+1}^{2m} \xi_i,~\ldots{},~\zeta_r = \sum\limits_{i=m(r-1)}^{rm} \xi_i$ . Если обозначить совокупное богатство за $C=|A|+B$$C = |A| +B$ , то тогда $\{A<S_k<B;1\leqslant k \leqslant rm \} \subseteq \bigl\{|\zeta_1|<C;\ldots{};|\zeta_r|<C\bigr\}$ . Этому есть разумное объяснение: если частица выходит из нуля и не пересекает границ, то тогда совершенно определённо сумма $m$$m$  штук $x_i$$x_{i}$  меньше, чем совокупный запас.

Подзадача о независимости случайных величин ζ_iПравить

Докажем, что ${\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_j$$\zeta_j$  независимы и одинаково распределённые. Достаточно доказать, что они независимы, так как все они имеют биномиальное распределение.

Решение

Докажем, что $\mathbb{P}(\{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1=m\}\cap <!--\; \cap \; -->\{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2=m\})=\mathbb{P}(\{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1=m\})\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbb{P}(\{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2=m\}).$$\mathbb{P}\bigl(\{ \zeta_1=m \} \cap \{ \zeta_2=m \} \bigr) = \mathbb{P} \bigl( \{\zeta_1=m\}\bigr) \cdot \mathbb{P}\bigl( \{\zeta_2=m\}\bigr).$ 

$\mathbb{P}(\{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1=m\}\cap <!--\; \cap \; -->\{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2=m\})=\mathbb{P}\left(\left\{\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=m\right\}\cap <!--\; \cap \; -->\left\{\underset{i=m+1}{\overset{2m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=m\right\}\right)=$$\mathbb{P}\bigl(\{ \zeta_1=m \} \cap \{ \zeta_2=m \} \bigr) = \mathbb{P} \left( \left\{ \sum\limits_{i=1}^{m} \xi_i = m \right\} \cap \left\{ \sum\limits_{i=m+1}^{2m} \xi_i = m \right\} \right) =$

$=\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{1;\dots <!--\; \dots \; -->;m}=1\}\cap <!--\; \cap \; -->\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{m+1;\dots <!--\; \dots \; -->;2m}=1\})={\mathbb{P}}^{2m}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=1\})=\mathbb{P}(\{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1=m\})\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbb{P}(\{{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_2=m\})$$=\mathbb{P}\bigl( \{ \xi_{1;\ldots;m} = 1 \} \cap \{ \xi_{m+1;\ldots;2m} = 1\} \bigr) = \mathbb{P}^{2m}\bigl( \{\xi_i=1\}\bigr) = \mathbb{P} \bigl(\{\zeta_1=m\}\bigr) \cdot \mathbb{P} \bigl(\{\zeta_2=m\}\bigr)$ . $\mathrm{◼<!--\; ◼\; -->}$$\blacksquare$

Вернёмся к рассмотрению сходимости.

Из только что доказанного следует что $\gamma_n \leqslant \mathbb{P} \Bigl( \bigl\{ |\zeta_1|;\ldots;|\zeta_r|<C\bigr\} \Bigr) = \prod\limits_{i=1}^r \mathbb{P} \Bigl( \bigl\{ |\zeta_i|<C \bigr\} \Bigr) = \biggl( \mathbb{P} \Bigl( \bigl\{ |\zeta_1|<C \bigr\} \Bigr) \biggr)^r$ .

Рассмотрим дисперсию: $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1)=m(1-<!--\; -\; -->(p-<!--\; -\; -->q{)}^2)$$\mathrm{Var}(\zeta_1) = m\bigl(1-(p-q)^2\bigr)$  (что вполне правомерно, так как $1-<!--\; -\; -->(p-<!--\; -\; -->q{)}^2=1-<!--\; -\; -->((p+q{)}^2-<!--\; -\; -->4pq)$$1-(p-q)^2 =1-\bigl((p+q)^2-4pq\bigr)$ , а $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  — модифицированная бернуллиевская случайная величина), поэтому для достаточно больших $m$$m$  и $0<p<1$  верно: $\mathbb{P}\Bigl( \bigl\{ |\zeta_1|<C\bigr\} \Bigr) \leqslant \varepsilon_1$ , где $\varepsilon_1<1$ , так как если $\mathbb{P}(\{|{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1|⩽<!--\; ⩽\; -->C\})=1$$\mathbb{P}\Bigl( \bigl\{ |\zeta_1|\leqslant C \bigr\} \Bigr)=1$ , то $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}_1)⩽<!--\; ⩽\; -->C^2$$\mathrm{Var}(\zeta_1)\leqslant C^2$ . Если $p=0$$p=0$  или $p=1$$p=1$ , то для довольно больших $m$$m$  верно, что $\mathbb{P}\Bigl( \bigl\{ |\zeta_1|<C \bigr\} \Bigr)=0$ , поэтому неравенство $\mathbb{P}\Bigl( \bigl\{ |\zeta_1|<C \bigr\} \Bigr) \leqslant \varepsilon_1$  верно $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}p\in <!--\; \in \; -->[0;1]$$\forall p\in[0;1]$ . Из вышесказанного следует, что ${\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^n$$\gamma_n \leqslant \varepsilon^n$ , где $\varepsilon = \varepsilon_1^{\frac{1}{m}}<1$ . Так как $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=1$$\alpha+\beta = 1$ , то $(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n)-<!--\; -\; -->(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n)={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n$$(\alpha-\alpha_n)-(\beta-\beta_n)=\gamma_n$ ; так как $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$\alpha\geqslant \alpha_n$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⩾<!--\; ⩾\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n$$\beta\geqslant \beta_n$ , то $0⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^n$$0\leqslant \alpha-\alpha_n \leqslant \gamma_n \leqslant \varepsilon^n$ ; $0⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n⩽<!--\; ⩽\; -->{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^n$$0\leqslant \beta-\beta_n \leqslant \gamma_n \leqslant \varepsilon^n$  при $\varepsilon<1$ . Аналогичные оценки справедливы и для разностей $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n(x)$$\alpha(x)-\alpha_n(x)$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n(x)$$\beta(x)-\beta_n(x)$ , так как можно свести эти разности к разностям $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n$$\alpha-\alpha_n$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n$$\beta-\beta_n$  при $A_1=A-<!--\; -\; -->x$$A_1 = A-x$ , $B_1=B-<!--\; -\; -->x$$B_1=B-x$ .

Вернёмся к рассмотрению $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)$$\alpha(x)$ . По аналогии с решением $\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^x-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}$$\frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{x}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}$  уравнения $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=p\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x+1)+q\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x-<!--\; -\; -->1)$$\beta(x) = p\beta(x+1) + q\beta(x-1)$ , можно сказать, что у уравнения $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)=p\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x+1)+q\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x-<!--\; -\; -->1)$$\alpha(x) = p\alpha(x+1) + q\alpha(x-1)$  при граничных условиях $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(A)=1$$\alpha(A)=1$ , $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(B)=0$$\alpha(B)=0$  существует единственное решение $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)=\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^x}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A},A⩽<!--\; ⩽\; -->x⩽<!--\; ⩽\; -->B.$$\alpha(x) = \frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{x}}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}},\qquad A\leqslant x \leqslant B.$ 

Нетрудно заметить, что $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^x}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}+\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^x-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}=\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}=1$$\alpha(x) + \beta(x) = \frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{x}}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}} + \frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{x}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}} = \frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}=1$  при любых $p\in <!--\; \in \; -->[0;1]$$p\in [0;1]$ . Если же игра является справедливой (вероятность выпадения аверса равна вероятности выпадения реверса), то решения будут выглядеть следующим образом: $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)=\frac{x-<!--\; -\; -->A}{B-<!--\; -\; -->A}$$\beta(x) = \frac{x-A}{B-A}$ , $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)=\frac{B-<!--\; -\; -->x}{B-<!--\; -\; -->A}$$\alpha(x) = \frac{B-x}{B-A}$ .

Ответ о вероятности разоренияПравить

Величины $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)$$\alpha(x)$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta(x)$  можно назвать вероятностями разорения первого и второго игрока при начальных капиталах $x-<!--\; -\; -->A$$x-A$  и $B-<!--\; -\; -->x$$B-x$  при стремлении количества ходов к бесконечности и характеризации случайной величина ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=+1$$\xi_i=+1$  как выигрыша первого игрока, а ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=-<!--\; -\; -->1$$\xi_i=-1$  — проигрыша первого игрока. В дальнейшем будет показано, почему такую последовательность действительно можно построить.

Если $A=0$$A=0$ , то интуитивный смысл функции $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta(x)$  — это вероятность того, что частица, вышедшая из положения $x$$x$ , достигнет верхней стенки ($B$$B$ ) ранее, чем нуля. Из формул $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta (x)$  видно, что

$\beta(x) = \begin{cases} \frac{x}{B}, & p=q=0{,}5,\\ \frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{x}-1}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-1}, & p\ne q \end{cases}$ .

Парадокс увеличения ставки при неблагоприятной игреПравить

Что необходимо сделать первому игроку, если игра неблагоприятна для него?

Его вероятность проигрыша задана формулой $\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->1}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^B-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^A}$$\lim\limits_{k\rightarrow\infty} \alpha_k = \alpha = \frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-1}{\left( \frac{q}{p}\right)^{B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{A}}$ .

Теперь пусть первый игрок с капиталом $(-<!--\; -\; -->A)$$(-A)$  примет решение удвоить ставку и играть на два рубля, то есть $\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=2\})=p$$\mathbb{P}\bigl( \{\xi_i=2\}\bigr)=p$ , $\mathbb{P}(\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=-<!--\; -\; -->2\})=q$$\mathbb{P}\bigl( \{\xi_i=-2\}\bigr)=q$ . Тогда обозначим предельную вероятность разорения первого игрока так: ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2=\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B}-<!--\; -\; -->1}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B}-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5A}}$$\alpha_2 = \frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B}-1}{\left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5A}}$ .

Поэтому $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{{\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B\cdot <!--\; \cdot \; -->2}-<!--\; -\; -->1^2}{{\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B\cdot <!--\; \cdot \; -->2}-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5A\cdot <!--\; \cdot \; -->2}}=\frac{\left({\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B}-<!--\; -\; -->1\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left({\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B}+1\right)}{\left({\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B}-<!--\; -\; -->{\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5A}\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->\left({\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B}+{\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5A}\right)}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\left({\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B}+1\right)}{\left({\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5B}+{\left(\frac{q}{p}\right)}^{0,5A}\right)}>{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$$\alpha = \frac{\left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B\cdot2} - 1^2}{ \left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B\cdot2} - \left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5A\cdot2} } = \frac{\left( \left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B}-1\right)\cdot \left( \left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B}+1\right)}{\left( \left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B}-\left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5A}\right) \cdot \left( \left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B}+\left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5A}\right)} = \alpha_2 \cdot \frac{\left( \left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B}+1\right)}{\left( \left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5B}+\left( \frac{q}{p}\right)^{0{,}5A}\right)} > \alpha_2$ , так как ${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_2$$\alpha_2$  умножается на дробь, которая больше единицы при $q>p$$q>p$ .

Поэтому если вероятность выпадения столь желанного для первого игрока аверса меньше $0,5$$0{,}5$ , то ему выгодно увеличить ставку в $r>1$$r>1$  раз: это уменьшает вероятность его терминального разорения за счёт того, что вырастает вероятность выскочить из коридора в точке $B$$B$ . Это решение кажется парадоксальным, так как складывается впечатление, что при неблагоприятной ситуации надо снизить ставку и уменьшить проигрыш, но в действительности при бесконечном числе игр и низкой ставке проигрывающий игрок в конечном счёте обязательно проиграется в ноль, а игрок с высокой ставкой обладает большими шансами выпадения количества аверсов, достаточного для завершения игры в точке $B$$B$ .

Длительность случайного блужданияПравить

Рассмотрим среднюю длительность блуждания нашей частицы. Введём математическое ожидание момента, когда игра прекращается: $\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x)=m_k(x)$$\mathbb{E}(\tau^x_k)= m_k(x)$  для $k⩽<!--\; ⩽\; -->n$$k\leqslant n$ . Выведем рекуррентное соотношение для математического ожидания продолжительности игры:

$m_k(x)=\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x)=\underset{1⩽<!--\; ⩽\; -->l⩽<!--\; ⩽\; -->k}{\sum <!--\; \sum \; -->}l\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x=l\})=\underset{1⩽<!--\; ⩽\; -->l⩽<!--\; ⩽\; -->k}{\sum <!--\; \sum \; -->}l(p\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x=l\}|\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=1\})+q\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_k^x=l\}|\{{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1=-<!--\; -\; -->1\}))=$$m_k(x) = \mathbb{E}(\tau_k^x) = \sum\limits_{1\leqslant l \leqslant k} l\mathbb{P} \bigl( \{\tau_k^x = l\} \bigr) = \sum\limits_{1\leqslant l \leqslant k} l \Bigl( p\mathbb{P}\bigl(\{ \tau_k^x = l \} \big| \{ \xi_1=1 \}\bigr) + q\mathbb{P}\bigl(\{ \tau_k^x = l \} \big| \{ \xi_1=-1 \}\bigr) \Bigr) =$

$=\underset{1⩽<!--\; ⩽\; -->l⩽<!--\; ⩽\; -->k}{\sum <!--\; \sum \; -->}l(p\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1}=l-<!--\; -\; -->1\})+q\mathbb{P}\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x-<!--\; -\; -->1}=l-<!--\; -\; -->1\}))=\underset{0⩽<!--\; ⩽\; -->l⩽<!--\; ⩽\; -->k-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}(l+1)(p\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1}=l\})+q\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x-<!--\; -\; -->1}=l\}))=$$= \sum\limits_{1\leqslant l \leqslant k} l \Bigl( p\mathbb{P}\bigl( \{ \tau_{k-1}^{x+1} = l-1 \}\bigr) + q\mathbb{P}\bigl\{ \tau_{k-1}^{x-1} = l-1 \}\bigr) \Bigr) = \sum\limits_{0\leqslant l \leqslant k-1} (l+1) \Bigl( p\mathbb{P}\bigl( \{ \tau_{k-1}^{x+1} = l\}\bigr) + q\mathbb{P}\bigl(\{ \tau_{k-1}^{x-1} = l \}\bigr) \Bigr) =$

$=p{m}_{k-<!--\; -\; -->1}(x+1)+q{m}_{k-<!--\; -\; -->1}(x-<!--\; -\; -->1)+\underset{0⩽<!--\; ⩽\; -->l⩽<!--\; ⩽\; -->k-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}(p\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x+1}=l\})+q\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{k-<!--\; -\; -->1}^{x-<!--\; -\; -->1}=l\}))=p{m}_{k-<!--\; -\; -->1}(x+1)+q{m}_{k-<!--\; -\; -->1}(x-<!--\; -\; -->1)+1.$$= pm_{k-1}(x+1) + qm_{k-1}(x-1) + \sum\limits_{0\leqslant l \leqslant k-1} \Bigl( p\mathbb{P}\bigl( \{ \tau_{k-1}^{x+1} = l\}\bigr) + q\mathbb{P}\bigl(\{ \tau_{k-1}^{x-1} = l \}\bigr) \Bigr) = pm_{k-1}(x+1) + qm_{k-1}(x-1) + 1.$

Для $x\in <!--\; \in \; -->(A;B)$$x\in (A;B)$  и $k\in <!--\; \in \; -->[0;n]$$k\in[0;n]$  мы получили рекуррентное соотношение для функции $m_k(x)$$m_k(x)$ : $m_k(x)=p{m}_{k-<!--\; -\; -->1}(x+1)+q{m}_{k-<!--\; -\; -->1}(x-<!--\; -\; -->1)+1$$m_k(x) = pm_{k-1}(x+1) + qm_{k-1}(x-1) + 1$  при $m_0(x)=0$$m_0(x)=0$ .

Введём граничные условия: если игра начинается в точке $A$$A$  или $B$$B$ , то тогда она тут же и завершится — её длительность будет равна 0: $m_k(A)=m_k(B)=0$$m_k(A) = m_k(B)=0$ .

Из рекуррентного соотношения и граничных условий можно один за другим вычислить $m_i(x)$$m_i(x)$ . Так как $m_{k+1}(x)⩾<!--\; ⩾\; -->m_k(x)$$m_{k+1}(x) \geqslant m_k(x)$ , то существует предел $m(x)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{m}_n(x)$$m(x) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} m_n(x)$ , который удовлетворяет соотношению $m_k(x)=p{m}_{k-<!--\; -\; -->1}(x+1)+q{m}_{k-<!--\; -\; -->1}(x-<!--\; -\; -->1)+1$$m_k(x) = pm_{k-1}(x+1) + qm_{k-1}(x-1) + 1$ : $m(x)=1+pm(x+1)+qm(x-<!--\; -\; -->1)$$m(x) = 1+pm(x+1) + qm(x-1)$  при выполнении $m(A)=m(B)=0$$m(A)=m(B)=0$ . Данные переходы аналогичны тем, что мы рассмотрели при переходе к $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow\infty$  в уравнении вероятности проигрыша. Для того чтобы решить данное уравнение, надо ввести ещё одно условие: матожидание количества ходов должно быть конечным, то есть $m(x)<\infty$ , $x\in <!--\; \in \; -->(A;B)$$x\in(A;B)$ .

Решим данное уравнение. В уравнении вероятности проигрыша ($p\ne <!--\; \ne \; -->q$$p\ne q$ ) уже были получены частные решения $a$$a$  и $b{\left(\frac{q}{p}\right)}^x$$b\left( \frac{q}{p}\right)^{x}$ . Здесь же появляется ещё один претендент на роль частного решения: $\frac{x}{q-<!--\; -\; -->p}=\frac{q-<!--\; -\; -->p+(p+q)x+p-<!--\; -\; -->q}{q-<!--\; -\; -->p}=\frac{q-<!--\; -\; -->p}{q-<!--\; -\; -->p}+\frac{p(x+1)}{q-<!--\; -\; -->p}+\frac{q(x-<!--\; -\; -->1)}{q-<!--\; -\; -->p}=1+p\frac{x+1}{q-<!--\; -\; -->p}+q\frac{x-<!--\; -\; -->1}{q-<!--\; -\; -->p}$$\frac{x}{q-p} =\frac{q-p+(p+q)x + p-q}{q-p} = \frac{q-p}{q-p} + \frac{p(x+1)}{q-p} + \frac{q(x-1)}{q-p} = 1 + p\frac{x+1}{q-p} + q\frac{x-1}{q-p}$ , поэтому $m(x)=\frac{x}{q-<!--\; -\; -->p}+a+b{\left(\frac{q}{p}\right)}^x$$m(x) = \frac{x}{q-p} + a + b\left( \frac{q}{p}\right)^{x}$ . С учётом граничного условия $m(A)=m(B)=0$$m(A)=m(B)=0$  находим при помощи ранее полученных соотношений $m(x)$$m(x)$ : $m(x)=\frac{1}{p-<!--\; -\; -->q}(B\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)+A\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)-<!--\; -\; -->x)$$m(x) = \frac{1}{p-q}\bigl( B\beta(x) + A\alpha(x) - x\bigr)$ . В случае идеальной монетки получаем следующее выражение: $m(x)=a+bx-<!--\; -\; -->x^2$$m(x) = a+bx-x^2$ . Применение граничного условия даёт: $m(x)=(B-<!--\; -\; -->x)(x-<!--\; -\; -->A)$$m(x)= (B-x)(x-A)$ . Из этого следует, что в случае равных стартовых капиталов $m(0)=B^2$$m(0)=B^2$ . Например, если у каждого игрока есть по 5 рублей, а ставка — 1 рубль, то в среднем разоряться игроки будут через 25 ходов.

При рассмотрении вышеуказанных формул подразумевалась конечностью математического ожидания числа ходов: $m(x)<\infty$ . Теперь будет предложено доказательство этого факта.

Задача о конечности ожидаемого числа ходовПравить

Доказать, что $m(x)<\infty\quad \forall A,B$ .

Решение

Достаточно доказать это для случая $x=0$$x=0$  (так как ранее было уже продемонстрировано, что случаи $x\ne <!--\; \ne \; -->0$$x\neq 0$  могут быть сведены к $x=0$$x=0$  вариацией $A$$A$  и $B$$B$ ) и $p=q$$p=q$ , а затем рассмотреть случай $p\ne <!--\; \ne \; -->q$$p\ne q$ .

Итак, рассмотрим последовательность $S_{0;1;\dots <!--\; \dots \; -->;n}$$S_{0;1;\ldots;n}$  и введём случайную величину $S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}=S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$S_{\tau_n} = S_{\tau_n}(\omega)$ , где ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n={\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n^0$$\tau_n=\tau_n^0$  — момент остановки.

Пусть $S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{S}_k(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}){\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$S_{\tau_n} (\omega) = \sum\limits_{k=0}^n S_k(\omega) \mathbf{1}_{\{ {\tau_n=k} \}}(\omega)$ . Интерпретация такова: $S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}$$S_{\tau_n}$  — это значение случайного блуждания в момент ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n$$\tau_n$ . Если $\tau_n<n$ , то $S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}\in <!--\; \in \; -->\{A;B\}$$S_{\tau_n}\in \{A;B\}$ ; если ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=n$$\tau_n=n$ , то $A⩽<!--\; ⩽\; -->S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}⩽<!--\; ⩽\; -->B$$A\leqslant S_{\tau_n} \leqslant B$ . Вспомним, что $p=q=0,5$$p=q=0{,}5$ , и докажем, что $\mathbb{E}(S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n})=0$$\mathbb{E}(S_{\tau_n})=0$ , $\mathbb{E}(S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}^2)=\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)$$\mathbb{E}(S_{\tau_n}^2) = \mathbb{E}(\tau_n)$ .

Для доказательства первого равенства напишем: $\mathbb{E}(S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n})=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathbb{E}(S_k{\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}))=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathbb{E}(S_n{\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}))+\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}((S_k-<!--\; -\; -->S_n){\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}))=\mathbb{E}(S_n)+\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}((S_k-<!--\; -\; -->S_n){\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}))$$\mathbb{E}(S_{\tau_n}) = \sum\limits_{k=0}^n \mathbb{E} \bigl(S_k\mathbf{1}_{\{ {\tau_n=k} \}}(\omega)\bigr) = \sum\limits_{k=0}^n \mathbb{E} \bigl( S_n\mathbf{1}_{\{ {\tau_n=k} \}}(\omega) \bigr) + \sum\limits_{k=0}^n \bigl( (S_k-S_n)\mathbf{1}_{\{ {\tau_n=k} \}}(\omega) \bigr) = \mathbb{E}(S_n) + \sum\limits_{k=0}^n \bigl( (S_k-S_n)\mathbf{1}_{\{ {\tau_n=k} \}}(\omega) \bigr)$ . Совершенно очевидно, что $\mathbb{E}(S_n)=0$$\mathbb{E}(S_n)=0$ , так как $S_n={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$$S_n = \xi_1+\ldots+\xi_n$ , ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i=\pm <!--\; \pm \; -->1$$\xi_i=\pm 1$  при $p=q$$p=q$ . Осталось доказать, что $\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}((S_k-<!--\; -\; -->S_n){\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}))=0$$\sum\limits_{k=0}^n \bigl( (S_k-S_n)\mathbf{1}_{\{ {\tau_n=k} \}}(\omega) \bigr) = 0$ .

Для $0\leqslant k < n$  справедливо, что $\{ \tau_n>k \} = \{ A<S_1<B;\ldots;A<S_k<B\}$ . Последнее событие может быть представлено в виде $\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:<!--\; :\; -->({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1;\dots <!--\; \dots \; -->;{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n)\in <!--\; \in \; -->J\}$$\bigl\{\omega\colon (\xi_1;\ldots;\xi_n)\in J \bigr\}$ , где $J$$J$  — некоторое подмножество множества $\{-<!--\; -\; -->1;+1{\}}^k$$\{ -1;+1 \}^k$ . Это множество определяется только ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i$$\xi _{i}$  при $i=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1;k}$$i=\overline{1;k}$ . Для больших $i$$i$  значения ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{k+1};\dots <!--\; \dots \; -->;{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n$$\xi_{k+1};\ldots;\xi_n$  не влияют на $J$$J$ . Множество вида $\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}=\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n>k-<!--\; -\; -->1\}\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n>k\}$$\{ \tau_n=k \} = \{ \tau_n>k-1 \} \backslash \{ \tau_n>k \}$  также может быть представлено в виде $\{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:<!--\; :\; -->({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1;\dots <!--\; \dots \; -->;{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_n)\in <!--\; \in \; -->J\}$$\bigl\{\omega\colon (\xi_1;\ldots;\xi_n)\in J \bigr\}$ . Благодаря независимости ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i$$\xi _{i}$  (доказано в подзадаче 2) вытекает, что $\forall 0\leqslant k < n$  случайные величины $S_n-<!--\; -\; -->S_k$$S_n-S_k$  и ${\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}$$\mathbf{1}_{\{ \tau_n=k \}}$  независимы. Отсюда $\mathbb{E}(S_k\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}))=\mathbb{E}(S_k)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbb{E}({\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}))=0$$\mathbb{E} \bigl( S_k\cdot\mathbf{1}_{\{ {\tau_n=k} \}}(\omega)\bigr) = \mathbb{E}(S_k)\cdot \mathbb{E}\bigl(\mathbf{1}_{\{ {\tau_n=k} \}}(\omega)\bigr)=0$  в силу того, что первый множитель нулевой.

$\mathbb{E}(S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}^2)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathbb{E}(S_k^2{\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}})=$$\mathbb{E}(S_{\tau_n}^2) = \sum\limits_{k=0}^n \mathbb{E} ( S^2_k \mathbf{1}_{\{ {\tau_n=k} \}}) =$

$=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathbb{E}((S_n+(S_k-<!--\; -\; -->S_n{)}^2){\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}})=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\mathbb{E}(S^2){\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}+2\mathbb{E}(S_n(S_k-<!--\; -\; -->S_n)){\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}+\mathbb{E}((S_n-<!--\; -\; -->S_k{)}^2){\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}})=$$= \sum\limits_{k=0}^n \mathbb{E} \Bigl( \bigl(S_n +(S_k - S_n)^2\bigr) \mathbf{1}_{\{{\tau_n=k}\}}\Bigr) = \sum\limits_{k=0}^n \Bigl( \mathbb{E}(S^2)\mathbf{1}_{\{{\tau_n=k}\}} + 2\mathbb{E} \bigl( S_n (S_k - S_n)\bigr) \mathbf{1}_{\{{\tau_n=k}\}} + \mathbb{E} \bigl( (S_n-S_k)^2 \bigr)\mathbf{1}_{\{{\tau_n=k}\}} \Bigr) =$

$=\mathbb{E}(S^2)-<!--\; -\; -->\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathbb{E}((S_n-<!--\; -\; -->S_k{)}^2){\mathbf{1}}_{\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\}}=n-<!--\; -\; -->\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathbb{E}(n-<!--\; -\; -->k)\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\})=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}k\mathbb{P}(\{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n=k\})=\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n).$$=\mathbb{E}(S^2) - \sum\limits_{k=0}^n \mathbb{E} \bigl( (S_n-S_k)^2 \bigr)\mathbf{1}_{\{{\tau_n=k}\}} = n - \sum\limits_{k=0}^n \mathbb{E} (n-k)\mathbb{P}\bigl( \{\tau_n=k\}\bigr) = \sum\limits_{k=0}^n k\mathbb{P}\bigl(\{\tau_n=k\}\bigr) = \mathbb{E}(\tau_n).$

Установлено, что для идеальной монетки $\mathbb{E}(S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n})=0$$\mathbb{E}(S_{\tau_n})=0$ , $\mathbb{E}(S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}^2)=\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)$$\mathbb{E}(S_{\tau_n}^2) = \mathbb{E}(\tau_n)$ .

В случае же $p\ne <!--\; \ne \; -->q$$p\ne q$  имеют место соотношения $\mathbb{E}(S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n})=(p-<!--\; -\; -->q)\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)$${\mathbb {E}}(S_{{\tau _{n}}})=(p-q){\mathbb {E}}(\tau _{n})$  (поскольку $\mathbb{E}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1)=p-<!--\; -\; -->q$$\mathbb{E}(\xi_1) = p-q$ ) и $\mathbb{E}((S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n\mathbb{E}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1){)}^2)=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)$${\mathbb {E}}{\Bigl (}{\bigl (}S_{{\tau _{n}}}-\tau _{n}{\mathbb {E}}(\xi _{1}){\bigr )}^{2}{\Bigr )}={\mathrm {Var}}(\xi _{1})\cdot {\mathbb {E}}(\tau _{n})$ , поскольку $\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1)=1-<!--\; -\; -->(p-<!--\; -\; -->q{)}^2$$\mathrm{Var}(\xi_1) = 1-(p-q)^2$ . Теперь покажем, что $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} m_n(0) = m(0)<\infty$ .

В случае справедливой игры в силу соотношения $\mathbb{E}(S_{{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n}^2)=\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)$$\mathbb{E}(S_{\tau_n}^2) = \mathbb{E}(\tau_n)$  верно, что $\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)⩽<!--\; ⩽\; -->max\{A^2;B^2\}$$\mathbb{E}(\tau_n)\leqslant \max\{ A^2;B^2\}$ . Тогда же $\mathbb{E} (\tau_n) = \mathbb{E}(S^2_{\tau_n}) = A^2 \alpha_n + B^2 \beta_n + \mathbb{E} (S^2_n \mathbf{1}_{\{{A<S_n<B}\}}) \mathbf{1}_{\{{\tau_n=n}\}}$ , поэтому $A^2{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n+B^2{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n⩽<!--\; ⩽\; -->\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)⩽<!--\; ⩽\; -->A^2{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n+B^2{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n+max\{A^2;B^2\}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_n$$A^2 \alpha_n + B^2 \beta_n \leqslant \mathbb{E}(\tau_n) \leqslant A^2 \alpha_n + B^2 \beta_n + \max\{ A^2;B^2 \}\cdot \gamma_n$ . Из неравенства $\gamma_n<\varepsilon^n$  следует, что математическое ожидание $\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)$$\mathbb{E}(\tau_n)$  сходится при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow\infty$  к предельному значению $m(0)=A^2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+B^2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=A^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{B}{B-<!--\; -\; -->A}-<!--\; -\; -->B^2\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{A}{B-<!--\; -\; -->A}=|AB|$$m(0) = A^2\alpha + B^2 \beta = A^2 \cdot \frac{B}{B-A} - B^2\cdot \frac{A}{B-A} = |AB|$ . В случае несправедливой игры $\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)⩽<!--\; ⩽\; -->\frac{max\{|A|;B\}}{|p-<!--\; -\; -->q|}$$\mathbb{E}(\tau_n)\leqslant \frac{\max\{ |A|;B \}}{|p-q|}$ . Так как за ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n$$\tau_n$  обозначался момент первого вылета частицы за пределы коридора, то математическое ожидание его меньше определённых чисел, следовательно, меньше бесконечности. При таком условии $\mathbb{E}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_n)\to <!--\; \to \; -->m(0)=\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}A+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}B}{p-<!--\; -\; -->q}$$\mathbb{E}(\tau_n)\rightarrow m(0) = \frac{\alpha A + \beta B}{p-q}$ . $\mathrm{◼<!--\; ◼\; -->}$$\blacksquare$ 

Компьютерное моделирование (метод Монте-Карло)Править

Для моделирования игры воспользуемся программой MATLAB.

Для начала сгенерируем последовательность ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i$$\xi _{i}$ , а затем при некотором первоначальном богатстве $x$$x$  создадим цепочку $S_k$$S_k$ :

Последовательность ξ (getXI)Править

n = 100;                             % The length of \xi_i series
U = rand(n,1);                       % Generate 100 random uniform [0;1] values
XI = zeros(n,1);                     % Reserve memory for 100 modified Bernoulli
q = 0.55;                            % Reverse probability
p = 1 - q;                           % Averse probability

                                     % The following cycle creates a Bernoulli distribution based on uniform [0;1]
for i = 1:n                          % This cycle divides the [0;1] array into 2 parts: lengths q and p, q+p=1
   if (U(i,1) < q)                        
       XI(i,1) = -1;                 % If a uniform random value falls into q then \xi=-1
   else XI(i,1) = 1;                 % If a uniform random value falls into p then \xi=+1
   end
end

x = 10;                              % Initial 1st player's budget offset

S = zeros(n,1);                      % Reserve memory for 100 S_1...S_100

for i = 1:n                          % Make S_k series according to rule S_{k+1} = S_k + \xi_{k+1}
    S(i,1) = x + sum(XI(1:i, 1));    % considering the initial welfare offset x
end

Затем введём функцию getS(n, q, x), которая бы не просто, как листинг выше, генерировала ряд $S_k$$S_k$  сразу и мгновенно, а позволяла бы обобщённо на основе введённых значений $n$$n$ , $q$$q$  и $x$$x$  построить ряд, не усложняя вычислений. Это бы упростило рабочую область.

Генерация ряда (getS function)Править

function [S] = getS(n, q, x)         % This function depends on n, q and x --- 3 variables
U = rand(n,1);
XI = zeros(n,1);

for i = 2:n                          % Uniform->Bernoulli distribution transformation
   if (U(i,1) < q)
       XI(i,1) = -1; 
   else XI(i,1) = 1;
   end
end

S = zeros(n,1);                      % Reserve memory for n S_1...S_n

for i = 2:n                          % Calculate the S_1...S_n series
    S(i,1) = sum(XI(1:i, 1));        % Sums the \xi's
end
S = x + S;                           % Adds initial welfare to each S_k of the whole matrix

Возникает разумный вопрос: зачем считать $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$ , начиная только со второй величины (for i = 2:n)? Дело в том, что это делается исключительно в целях наглядной визуализации. При построении графика в следующем коде будут строиться траектории $S_k$$S_k$ , и если бы было написано for i = 1:n, то тогда уже с самого первого значения некоторые траектории бы выходили из $x-<!--\; -\; -->1$$x-1$ , некоторые — из $x+1$$x+1$ . Так как в данной программе из соображений оптимальности лучше не задействовать нулевое значение (из него частица выходит, но не рисуется, так как прибавление ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_1$$\xi_1$  происходит сразу), то просто-напросто сдвинем нумерацию на оси абсцисс на единицу вправо. Теперь проведём серию тестов и наглядно рассмотрим возможные траектории при некоторых вероятностях, длинах игры и количестве игр.

Визуализация (graphS)Править

 

Три игры в 10 шагов при $q=0,45$$q=0{,}45$ .

 

Пять игр в 100 шагов при $q=0,56$$q=0{,}56$ . Видно, что частицу «тянет вниз» к точке $A$$A$ .

 

Сто справедливых игр в 10000 шагов.

N = 3;                               % Number of games played
n = 10;                              % Number of tosses
q = 0.45;                            % Chance 1st player loses 1 rouble
x = 0;                               % Initial welfare offset

matrS = zeros(N, n);                 % Reserve memory for N rows n cols matrix
for i = 1:N                          % This loop fills the S matrix with S_k, yielding N trajectories
    matrS(i,:) = getS(n, q, x)';
    plot(matrS(i,:));                % Gives an image
    hold on;                         % Holds the axes for next trajectory overlay
end
hold off;                            % Clears axes for a new plot

Теперь подойдём к самой главной составляющей программной части — алгоритму, который позволил бы вычислять среднюю длину игры при заданных параметрах $(A;B;n;q)$$(A;B;n;q)$ . Если теория верна, то нижеследующий эксперимент её лишь подтвердит. Также допишем в программу строчку, которая будет вычислять вероятность разорения первого игрока ($\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta(x)$ ) при заданных начальных капиталах и сопоставлять её с теоретической.

Полная модель игры (Monte_Carlo)Править

N = 3000;                                 % Number of games played
n = 3000;                                 % Number of tosses
q = 0.5;                                  % Chance 1st player loses 1 rouble
p = 1-q;                                  % Chance 1st player wins 1 rouble
A = -10;                                  % 1st player budget
B = 10;                                   % 2nd player budget
x = 0;                                    % Budget offset towards 1st player
Bs = 0;                                   % amount of cases particle hits B (it will change soon)
As = 0;                                   % amount of cases particle hits A (it will change soon)

matrS = zeros(N, n);                      % Reserve memory for N rows n cols matrix
TAU1 = n * ones(N, n);                    % Fill another N rows n cols matrix with n's
for i = 1:N                               % This loop makes up N trajectories of S_k relying on input q, x, n
  matrS(i,:) = getS(n, q, x)';
  for j = 1:n
      if (matrS(i,j) == A)||(matrS(i,j) == B) % If a particle exceeds A or B, then
      TAU1(i,j) = j;                          % put the number of step into the table
      end
  end
  plot(matrS(i,:));                       % Displays a figure
  grid on;
  hold on;                                % Simultaneous plots within same axes
end
hold off;                                 % Clears axes for a new plot

TAU = (min(TAU1'))';                      % TAU = earliest step of [A;B] corridor overrun

% As [min] affects columns and gives row then we transpose TAU1,
% minimize it by rows and make it a column again
for i = 1:N                               % Our S_n series are ready; they nest in matrS
    for j=1:TAU(i)                        % Scan only till we encounter the escape step!
        if (matrS(i,j) == A);             % If a particle escaped through A (1st player busted)
        As = As+1;                        % then add +1 to 1st player's failures
        elseif (matrS(i,j) == B)          % Otherwise if its first threshold was B
        Bs = Bs+1;                        % then add +1 to 1st player's wins
        end                               % If n is not large enough, then
    end                                   % As + Bs may not make up N
end
ALPHA = As/(As+Bs)                        % Match alphas with their theoretical values
if (q == p)
   THEORALPHA = (B-x)/(B-A)
else THEORALPHA = ((q/p)^B - (q/p)^x)/((q/p)^B - (q/p)^A)
end
BETA = 1-ALPHA                            % Same for betas
if (q == p)
   THEORBETA = (x-A)/(B-A)
else THEORBETA = 1-THEORALPHA
end
meanTAU = mean(TAU)                       % Law of large numbers for great N's
if (q == p)
   THEORTAU = (B-x)*(x-A)
else THEORTAU = 1/(p-q)*(B*THEORBETA+A*THEORALPHA-x)
end

Отметим, что при небольших $n$$n$  не все частицы вылетают из коридора, поэтому здесь надо подчеркнуть, что теория говорит: «при достаточно больших $n$$n$  вероятность ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_n(x)$$\beta_n(x)$  близка к $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta(x)$ ».

ТестированиеПравить

Нижеследующие данные рассчитаны для $n=3000$$n=3000$ , $N=3000$$N = 3000$ .

№ теста	$q$$q$	$A$$A$	$B$$B$	$x$$x$	ALPHA	$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(x)$$\alpha(x)$	BETA	$\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(x)$$\beta(x)$	meanTAU	$m(x)$$m(x)$
1	$0,49$$0{,}49$	$-<!--\; -\; -->6$$-6$	$5$$5$	$0$$0$	$\mathrm{0,402}0$$0{,}4020$	$\mathrm{0,400}6$$0{,}4006$	$\mathrm{0,598}0$$0{,}5980$	$\mathrm{0,599}4$$0{,}5994$	$\mathrm{30,930}7$$30{,}9307$	$\mathrm{29,685}6$$29{,}6856$
2	$0,6$$0{,}6$	$-<!--\; -\; -->60$$-60$	$6$$6$	$-<!--\; -\; -->3$$-3$	$\mathrm{0,973}3$$0{,}9733$	$\mathrm{0,974}0$$0{,}9740$	$\mathrm{0,026}7$$0{,}0267$	$\mathrm{0,026}0$$0{,}0260$	$\mathrm{278,220}0$$278{,}2200$	$\mathrm{276,415}9$$276{,}4159$
3	$0,6$$0{,}6$	$-<!--\; -\; -->20$$-20$	$2$$2$	$-<!--\; -\; -->1$$-1$	$\mathrm{0,704}0$$0{,}7040$	$\mathrm{0,703}8$$0{,}7038$	$\mathrm{0,296}0$$0{,}2960$	$\mathrm{0,296}2$$0{,}2962$	$\mathrm{62,268}0$$62{,}2680$	$\mathrm{62,417}8$$62{,}4178$
4	$0,54$$0{,}54$	$-<!--\; -\; -->10$$-10$	$50$$50$	$10$$10$	$\mathrm{0,999}0$$0{,}9990$	$\mathrm{0,998}4$$0{,}9984$	$\mathrm{0,001}0$$0{,}0010$	$\mathrm{0,001}6$$0{,}0016$	$\mathrm{251,358}7$$251{,}3587$	$\mathrm{248,820}5$$248{,}8205$
5	$0,5$$0{,}5$	$-<!--\; -\; -->10$$-10$	$20$$20$	$0$$0$	$\mathrm{0,658}0$$0{,}6580$	$\mathrm{0,666}7$$0{,}6667$	$\mathrm{0,342}0$$0{,}3420$	$\mathrm{0,333}3$$0{,}3333$	$\mathrm{202,300}7$$202{,}3007$	$\mathrm{200,000}0$$200{,}0000$
6	$0,35$$0{,}35$	$-<!--\; -\; -->3$$-3$	$90$$90$	$0$$0$	$\mathrm{0,145}7$$0{,}1457$	$\mathrm{0,156}1$$0{,}1561$	$\mathrm{0,854}3$$0{,}8543$	$\mathrm{0,843}9$$0{,}8439$	$\mathrm{256,455}7$$256{,}4557$	$\mathrm{251,602}2$$251{,}6022$

В экспериментах 2 и 3 продемонстрировано свойство: если игра проигрышная для первого игрока, то увеличение ставки в модели эквивалентно сокращению $A$$A$ , $B$$B$  и $x$$x$  в одно и то же число раз относительно нуля. Ставка увеличилась втрое — вероятность выскочить из коридора со значением $B$$B$  выросла в 11 раз!

См. такжеПравить

• Случайное блуждание
• Случайный процесс
• Формула полной вероятности
• Распределение Бернулли
• Метод Монте-Карло