K(G,n) пространство

$K(G,n)$$K(G,n)$ пространства (или пространства Эйленберга — Маклейна) — топологические пространства с единственной нетривиальной гомотопической группой $G$$G$ в размерности $n$$n$.

Названы в честь Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна, которые рассматривали эти пространства в конце 1940-х годов.

ОпределениеПравить

Пусть $G$$G$  — группа и $n$$n$  — положительное целое число. Линейно связное топологическое пространство $X$$X$  называется $K(G,n)$$K(G,n)$  пространством, если оно имеет $n$$n$ -ную гомотопическую группу ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_n(X)$$\pi _{n}(X)$  изоморфную $G$$G$ , а все остальные гомотопические группы $X$$X$  тривиальны.

Если $n>1$$n>1$ , то необходимо предположить, что $G$$G$  коммутативна.

Существование и единственностьПравить

При данных $G$$G$  и $n$$n$ , пример $K(G,n)$$K(G,n)$  пространства может быть построен поэтапно, как CW-комплекс, начиная с букета из $n$$n$ -мерных сфер, по одной на каждую образующую группы $G$$G$ , и далее добавляя клетки (возможно, бесконечное число) более высоких измерений, чтобы убить все лишние гомотопические группы, начиная с размерности $n+1$$n+1$ .

ПримерыПравить

• Окружность ${\mathbb{S}}^1$$\mathbb {S} ^{1}$  является $K(\mathbb{Z},1)$$K(\mathbb {Z} ,1)$  пространством.

• Бесконечномерное вещественное проективное пространство $\mathbb{R}{\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty }$  является $K({\mathbb{Z}}_2,1)$$K(\mathbb {Z} _{2},1)$  пространством.

• Сумма букет k окружностей $\underset{i=1}{\overset{k}{\bigvee <!--\; \bigvee \; -->}}{\mathbb{S}}^1$$\textstyle \bigvee _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1}$  это $K(G,1)$$K(G,1)$  для $G$$G$  — свободная группа с k образующими.

• Дополнение к любому узлу в трёхмерной сфере ${\mathbb{S}}^3$$\mathbb {S} ^{3}$  является $K(G,1)$$K(G,1)$  пространством; это следует из асферичности узлов — теоремы Христоса Папакириакопулоса доказанной им в 1957 году.

• Любое компактное связное неположительной секционной кривины многообразие M является $K(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->},1)$$K(\Gamma ,1)$ , где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}={\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(M)$$\Gamma =\pi _{1}(M)$  является фундаментальной группой М.
  • То же верно для локально CAT(0) пространств.

• Бесконечномерное комплексное проективное пространство $\mathbb{C}{\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$  является $K(\mathbb{Z},2)$$K(\mathbb {Z} ,2)$  пространством. Его кольцо когомологий $\mathbb{Z}[x]$$\mathbb {Z} [x]$  а именно свободное кольцо многочленов с одной образующей $x$$x$  в размерности 2. Эта образующая может быть представлен в когомологиях де Рама 2-формой Фубини — Штуди.

СвойстваПравить

• $K(G,n)$$K(G,n)$  пространство единствененно с точностью до слабой гомотопической эквивалентности.

• Произведение $K(G,n)$$K(G,n)$  и $K(H,n)$$K(H,n)$  пространств является $K(G\times <!--\; \times \; -->H,n)$$K(G\times H,n)$  пространством.

• Предположим, что $X$$X$  — $K(G,n)$$K(G,n)$  пространство, и $K$$K$  — произвольный CW-комплекс. Тогда для множества гомотопических классов отображений $K\to <!--\; \to \; -->X$$K\to X$  существует естественная биекция с группой когомологий $H^n(K,G)$$H^{n}(K,G)$ . Это утверждение аналогично лемме Йонеды в теории категорий.

• Пространство петель пространства $K(G,n)$$K(G,n)$  пространства является $K(G,n-<!--\; -\; -->1)$$K(G,n-1)$  пространством.

См. такжеПравить

• Асферическое пространство — K(G,1) пространство.
• Гомологическая сфера

ЛитератураПравить

• Фукс Д. Б., Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л. Гомотопическая топология. — М.: МГУ, 1969.

• Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1945), Relations between homology and homotopy groups of spaces, Annals of Mathematics, (Second Series) Т. 46 (3): 480–509, DOI 10.2307/1969165 

• Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1950), Relations between homology and homotopy groups of spaces. II, Annals of Mathematics, (Second Series) Т. 51 (3): 514–533, DOI 10.2307/1969365 

• Morita, Kiiti. Čech cohomology and covering dimension for topological spaces (англ.) // Fundamenta Mathematicae : journal. — 1975. — Vol. 87. — P. 31—52. — doi:10.4064/fm-87-1-31-52.

• Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1957. — Vol. 43, no. 1. — P. 169—172. — doi:10.1073/pnas.43.1.169. — PMID 16589993.

• Papakyriakopoulos, C. D. On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (англ.) // Ann. Math. : journal. — 1957. — Vol. 66, no. 1. — P. 1—26. — doi:10.2307/1970113.