Теорема Радона — Никодима

Теоре́ма Радо́на — Нико́дима в функциональном анализе и смежных дисциплинах описывает общий вид меры, абсолютно непрерывной относительно другой меры.

Названа в честь Отто Никодима и Иоганна Радона.

ФормулировкаПравить

Пусть $(X,\mathcal{F},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$  — пространство с мерой. Предположим, что $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  — $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ -конечна. Если мера $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}:<!--\; :\; -->\mathcal{F}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$\nu \colon {\mathcal {F}}\to {\mathbb {R}}$  абсолютно непрерывна относительно $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  $(\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$(\nu \ll \mu )$ , то существует измеримая функция $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f\colon X\to \mathbb {R}$ , такая что

$\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(A)=\underset{A}{\int <!--\; \int \; -->}f(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx),\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}A\in <!--\; \in \; -->\mathcal{F},$$\nu (A)=\int \limits _{{A}}\!f(x)\,\mu (dx),\quad \forall A\in {\mathcal {F}},$ 

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Другими словами, если вещественнозначная функция $A\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(A)$$A\mapsto \nu (A)$  обладает свойствами:

1. $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  определена на борелевской алгебре $S_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$S_{\mu }$ .
2. $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  аддитивна; то есть, для любого разложения $A=\underset{n}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{A}_n$$A=\bigcup _{n}A_{n}$  множества $A\in <!--\; \in \; -->S_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$A\in S_{\mu }$  на множества $A_n\in <!--\; \in \; -->S_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$A_{n}\in S_{\mu }$  выполняется равенство

   $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(A)=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(A_n)$$\nu (A)=\sum _{n}\nu (A_{n})$ 

3. $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  абсолютно непрерывна; то есть, из $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)=0$$\mu (A)=0$  вытекает $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(A)=0$$\nu (A)=0$ .

то она представима в виде

$\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}(A)={\int <!--\; \int \; -->}_{A}f(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},$$\nu (A)=\int _{A}f(x)d\mu ,$ 

где интеграл понимается в смысле Лебега.

Связанные понятияПравить

• Функция $f$$f$ , существование которой гарантируется теоремой Радона — Никодима, называется производной Радона — Никодима меры $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  относительно меры $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ . Пишут:

  $f=\frac{d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}.$$f={\frac {d\nu }{d\mu }}.$ 

  • Если $(X,\mathcal{F})=\left({\mathbb{R}}^k,\mathcal{B}({\mathbb{R}}^k)\right)$$(X,\;{\mathcal {F}})=\left({\mathbb {R}}^{k},\;{\mathcal {B}}({\mathbb {R}}^{k})\right)$  — $k$$k$ -мерное векторное пространство с борелевской σ-алгеброй, $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}={\mathbb{P}}^X$$\nu ={\mathbb {P}}^{{X}}$  — распределение некоторой случайной величины $X$$X$ , а $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=m$$\mu =m$  — мера Лебега на ${\mathbb{R}}^k$${\mathbb {R}}^{k}$ , то производная Радона — Никодима меры ${\mathbb{P}}^X$$\mathbb {P} ^{X}$  относительно меры $m$$m$  называется плотностью распределения случайной величины $X$$X$ .

СвойстваПравить

• Пусть $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\lambda ,\;\mu ,\;\nu$  — $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ -конечные меры, определённые на одном и том же измеримом пространстве $(X,\mathcal{F})$$(X,\;{\mathcal {F}})$ . Тогда если $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\mu \ll \lambda$  и $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\nu \ll \lambda$ , то

$\frac{d(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\frac{d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}+\frac{d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}.$${\frac {d(\mu +\nu )}{d\lambda }}={\frac {d\mu }{d\lambda }}+{\frac {d\nu }{d\lambda }}.$ 

• Пусть $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\nu \ll \mu \ll \lambda$ . Тогда

$\frac{d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\frac{d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\frac{d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}$  выполнено $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$ -почти всюду.

• Пусть $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\mu \ll \lambda$  и $g:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$g\colon X\to {\mathbb {R}}$  — измеримая функция, интегрируемая относительно меры $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , то

$\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}g(x)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(dx)=\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}g(x)\frac{d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{d\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}(x)\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(dx).$$\int \limits _{X}\!g(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}\!g(x)\,{\frac {d\mu }{d\lambda }}(x)\,\lambda (dx).$ 

• Пусть $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\mu \ll \nu$  и $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\ll <!--\; \ll \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\nu \ll \mu$ . Тогда

$\frac{d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}={\left(\frac{d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}.$${\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{{-1}}.$ 

• Пусть $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\nu$  — заряд. Тогда

$\frac{d|\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}|}{d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\left|\frac{d\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\right|.$${d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.$ 

Вариации и обобщенияПравить

Аналогичная теорема справедлива для зарядов, то есть знакопеременных мер.