Максимальный тор

Максимальный тор связной вещественной группы Ли $G$$G$ — связная компактная коммутативная подгруппа Ли $T$$T$ в $G$$G$, не содержащаяся ни в какой большей подгруппе такого типа.

СвойстваПравить

• Как группа Ли, максимальный тор $T$$T$  изоморфен прямому произведению нескольких копий «окружности» $S^1$$S^{1}$  (мультипликативной группы всех комплексных чисел, равных по модулю $1$$1$ ).
• Всякий максимальный тор группы $G$$G$  содержится в максимальной компактной подгруппе группы $G$$G$ ;
• Любые два максимальных тора группы $G$$G$  (так же, как и любые две её максимальные компактные подгруппы) сопряжены в $G$$G$ .
• Пусть, далее, $G$$G$  является компактной группой.
  • Объединение всех максимальных торов группы $G$$G$  совпадает с $G$$G$ ,
  • пересечение всех максимальных торов группы $G$$G$  совпадает с центром $G$$G$ .
  • Алгебра Ли максимального тора $T$$T$  является максимальной коммутативной подалгеброй в алгебре Ли $g$$g$  группы $G$$G$ . Более того,
    • всякая максимальная коммутативная подалгебра в $g$$g$  так получается.
  • Централизатор максимального тора $T$$T$  в $G$$G$  совпадает с $T$$T$ .

ЛитератураПравить

• Понтрягин Л.С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973;
• Желобенко Д.П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970;
• Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964.