Преобразование Вигнера — Вейля

В квантовой механике, преобразование Вигнера — Вейля (названо в честь Германа Вейля и Юджина Вигнера) — обратимое отображение функций в представлении фазового пространства на операторы гильбертова пространства в представлении Шредингера.

Часто отображение функций заданных на фазовом пространстве в пространство операторов называется преобразованием Вейля и квантованием Вейля, в то время как обратное преобразование, от операторов к функциям в фазовом пространстве, называется преобразованием Вигнера. Это сопоставление первоначально было изобретено Германом Вейлем в 1927 году в попытке получить отображение симметризованных классических функций в фазовом пространстве на операторы, процедура, известная как квантование Вейля. Сейчас известно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые можно требовать для квантования, и поэтому иногда даёт нефизические ответы. С другой стороны, обладает некоторыми хорошими свойствами, описанными ниже. Если кто-то ищет единую непротиворечивую процедуру квантования для отображения функций в классическом фазовом пространстве на операторы, то квантование Вейля является оптимальным вариантом, хотя теорема Груневолда гласит, что не существует такого отображения, которое имеет все те свойства, которые можно было бы желать в идеале.

Преобразование Вейля — Вигнера является четко определённым интегральным преобразованием между представлениями фазового пространства и операторного пространства. Самое главное, что квазивероятностное распределения Вигнера — это преобразование Вигнера матрицы плотности, и, наоборот, матрица плотности — это преобразование Вейля функции Вигнера.

В отличие от оригинальных намерений Вейля в поиске последовательной схемы квантования, это отображение просто сводится к изменению представления квантовой механики. Для этого не нужно соединять «классические» и «квантовые» величины. Например, функции из фазового пространства могут зависеть явно от постоянной Планка ħ, как это происходит в некоторых привычных случаях, связанных с моментом импульса. Это обратимое представление позволяет построить квантовую механику в фазовом пространстве, что было сделано в 1940 году Хилбрандом Ж. Груневолдом и Хосе Энрике Моялем.

Определение квантования Вейля для наблюдаемойПравить

Ниже описано преобразование Вейля заданном на самом простом, двухмерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты в фазовом пространстве (q,p) и f функция, определённая всюду в фазовом пространстве. В дальнейшем, предполагается что операторы Р и Q удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, таких как привычное коммутационное соотношение между операторами координаты и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что экспоненциальные операторы $e^{iaQ}$$e^{iaQ}$  и $e^{ibQ}$$e^{ibQ}$  представляют собой неприводимые представления соотношений Вейля, так что теорема Стоуна — фон Неймана (гарантирующая уникальность канонических коммутационных соотношений) выполняется.

Основная формулаПравить

Преобразование Вейля (или квантование Вейля) функции f можно выразить с помощью следующего оператора в гильбертовом пространстве,

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[f]=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}\iint <!--\; \iint \; -->\iint <!--\; \iint \; -->f(q,p)\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\left(e^{i(a(Q-<!--\; -\; -->q)+b(P-<!--\; -\; -->p))}\right)\text{d}q\text{d}p\text{d}a\text{d}b.$$\Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint \!\!\!\iint f(q,p)\rho \left(e^{i(a(Q-q)+b(P-p))}\right){\text{d}}q\,{\text{d}}p\,{\text{d}}a\,{\text{d}}b.$

Здесь $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$  это редуцированная постоянная Планка.

Проще выполнить интегрирование по p и q, которое имеет смысл вычисления обычного преобразования Фурье $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}$${\tilde {f}}$  функции $f$$f$ , оставляя операторы $e^{i(aQ+bP)}$$e^{i(aQ+bP)}$  без изменений. В этом случае преобразование Вейля можно записать в виде

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[f]=\frac{1}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{)}^2}\iint <!--\; \iint \; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{f}(a,b)e^{iaQ+ibP}dadb$$\Phi [f]={\frac {1}{(2\pi )^{2}}}\iint {\tilde {f}}(a,b)e^{iaQ+ibP}\,da\,db$ .

Поэтому мы можем думать об отображении Вейля следующим образом: берем обычное преобразование Фурье функции $f(p,q)$$f(p,q)$ , а затем применяя формулу обращения Фурье, мы заменяем квантовые операторы $P$$P$  и $Q$$Q$  для начальных классических переменных $p$$p$  и $q$$q$ , получая таким образом „квантовую версию $f$$f$ .“

Менее симметричная форма, но и полезная для приложений, имеет вид,

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[f]=\frac{2}{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{)}^{3/2}}\iint <!--\; \iint \; -->\iint <!--\; \iint \; -->dqdpd\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}d\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p}{e}^{\frac{i}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p}-<!--\; -\; -->2(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p}-<!--\; -\; -->p)(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}-<!--\; -\; -->q))}f(q,p)|\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}⟩<!--\; ⟩\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p}|.$$\Phi [f]={\frac {2}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\iint \!\!\!\iint \!\!dqdpd{\tilde {x}}d{\tilde {p}}~e^{{\frac {i}{\hbar }}({\tilde {x}}{\tilde {p}}-2({\tilde {p}}-p)({\tilde {x}}-q))}~f(q,p)~|{\tilde {x}}\rangle \langle {\tilde {p}}|.$ 

В координатном представленииПравить

Отображение Вейля можно выразить в терминах ядра интегрального оператора для матричных элементов,

$⟨<!--\; ⟨\; -->x|\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[f]|y⟩<!--\; ⟩\; -->={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{\text{d}p}{h}{e}^{ip(x-<!--\; -\; -->y)/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}f\left(\frac{x+y}{2},p\right).$$\langle x|\Phi [f]|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{{\text{d}}p \over h}~e^{ip(x-y)/\hbar }~f\left({x+y \over 2},p\right).$ 

Обратное отображениеПравить

Обратное к вышеприведённому отображению Вейля называется отображением Вигнера, которое преобразует оператор Φ к исходной функции ядра в фазовом пространстве f,

$f(q,p)=2{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\text{d}y{e}^{-<!--\; -\; -->2ipy/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}⟨<!--\; ⟨\; -->q+y|\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[f]|q-<!--\; -\; -->y⟩<!--\; ⟩\; -->.$$f(q,p)=2\int _{-\infty }^{\infty }{\text{d}}y~e^{-2ipy/\hbar }~\langle q+y|\Phi [f]|q-y\rangle .$

Если заменить $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[f]$$\Phi[f]$  в приведенном выше выражении произвольным оператором, то функция f может зависеть от постоянной Планка ħ, и может хорошо описывать квантово-механические процессы при условии, что она правильно составлена, то есть с использованием звёздочного произведения (см. ниже).

Квантование Вейля для полиномиальных наблюдаемыхПравить

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее понимание квантования Вейля для наблюдаемых общего вида в фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений простых наблюдаемых, таких как те, которые представляются многочленами переменных $q$$q$  и $p$$p$ . В последующих разделах мы увидим, что для таких многочленов, квантование Вейля представляет собой полностью симметричный набор упорядоченных некоммутирующих операторов $Q$$Q$  и $P$$P$ . Например, отображение Вигнера квадрата оператора квантового углового момента L² — это не просто классический момент импульса в квадрате, но оно также содержит смещение −3ħ²/2, которое приходится на неисчезающую часть углового момента боровской орбиты для основного состояния.

СвойстваПравить

Квантование Вейля для многочленовПравить

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции $q$$q$  и $p$$p$  полностью определяется следующей симметричной формулой:

$(aq+bp{)}^n⟼<!--\; ⟼\; -->(aQ+bP{)}^n$$(aq+bp)^{n}\longmapsto (aQ+bP)^{n}$ 

для всех действительных чисел $a$$a$  и $b$$b$ . Из этой формулы, нетрудно показать, что квантование Вейля функции вида $q^k{p}^l$$q^{k}p^{l}$  даёт среднее для всех возможных упорядочиваний $k$$k$  множителей $Q$$Q$  и $l$$l$  множителей $P$$P$ . Например, для

$6p^2{q}^2⟼<!--\; ⟼\; -->P^2{Q}^2+Q^2{P}^2+PQPQ+P{Q}^{2}P+QPQP+Q{P}^{2}Q.$$6p^{2}q^{2}~~\longmapsto ~~P^{2}Q^{2}+Q^{2}P^{2}+PQPQ+PQ^{2}P+QPQP+QP^{2}Q.$ 

Хотя этот результат концептуально понятен, он не очень удобен для вычислений, когда $k$$k$  и $l$$l$  большие. В таких случаях, мы можем использовать формулу Маккоя

$p^m{q}^n⟼<!--\; ⟼\; -->\frac{1}{2^n}\underset{r=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})Q^r{P}^m{Q}^{n-<!--\; -\; -->r}=\frac{1}{2^m}\underset{s=0}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{s})P^s{Q}^n{P}^{m-<!--\; -\; -->s}.$$p^{m}q^{n}~~\longmapsto ~~{1 \over 2^{n}}\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}Q^{r}P^{m}Q^{n-r}={1 \over 2^{m}}\sum _{s=0}^{m}{m \choose s}P^{s}Q^{n}P^{m-s}.$ 

Это выражение дает явно другой ответ для случая $p^2{q}^2$$p^{2}q^{2}$  очевидно отличный от совершенно симметричного выражения выше. Тут нет никакого противоречия, однако, поскольку канонические коммутационные соотношения позволяют более чем одно выражение для одного и того же оператора. Используя коммутационные соотношения можно переписать полностью симметричную формулу для случая $p^2{q}^2$$p^{2}q^{2}$  в терминах операторов $P^2{Q}^2$$P^{2}Q^{2}$ , $Q{P}^{2}Q$$QP^{2}Q$  и $Q^2{P}^2$$Q^{2}P^{2}$  и проверить первое выражение в формуле Маккоя для $m=n=2$$m=n=2$ .

Считается, что квантование Вейля, среди всех схем квантования, как можно ближе к отображению скобки Пуассона в классическом случае на коммутатор в квантовом случае. (Точное соответствие невозможно, в свете теоремы Груневолда)

Теорема: Если $f(q,p)$$f(q,p)$  это полином степени не более 2 и $g(q,p)$$g(q,p)$  — произвольный многочлен, то $\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(\{f,g\})=\frac{1}{i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}[\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(f),\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(g)]$$\Phi (\{f,g\})={\frac {1}{i\hbar }}[\Phi (f),\Phi (g)]$ .

Квантование Вейля функций общего видаПравить

• Если f — это вещественная функция, то её образ Вейля Φ[f] самосопряжен.
• Если f является элементом пространства Шварца, то Φ[f] — ядерный оператор в гильбертовом пространстве.
• В более общем случае, Φ[f] плотно определённый неограниченный оператор.
• Отображение Φ[f] — взаимнооднозначное соответствие на пространстве Шварца (как подпространство квадратично интегрируемых функций).

Деформационное квантованиеПравить

Интуитивно, деформация математического объекта — это семейство из того же рода объектов, которые зависят от некоторого параметра(ов). Здесь, она предоставляет правила для описания того, как деформируется «классическая» коммутативная алгебра наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная идея деформационной теории заключается в том, чтобы начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли) и спросить: существует ли одно- или более параметрическое семейство подобных структур, таких, что для начального значения параметра(ов) имеет одинаковую структуру (алгебру Ли) с начальным элементом? (Старейшей иллюстрацией этого подхода может служить представление Эратосфеном в древнем мире идеи, что сферическая Земля это деформируемая плоская Земля, с параметром деформации 1/R_⊕.) Поскольку алгебры функций на пространстве определяет геометрию этого пространства, то изучение звёздочного произведения приводит к изучению некоммутативной геометрии деформации этого пространства.

В вышеуказанном контексте плоского фазового пространства, например, звёздочное произведение (произведение Мояля, фактически введенное Груневолдом в 1946 году), ★_ħ, пары функций f₁, f₂ ∈ C^∞(ℜ²), определяется

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[f_1\star <!--\; \star \; -->f_2]=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[f_1]\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}[f_2].$$\Phi [f_{1}\star f_{2}]=\Phi [f_{1}]\Phi [f_{2}].\,$ 

Звёздочное произведение не является коммутативным в целом, но переходит к обычному коммутативному произведению функций в классическом пределе ħ → 0. Говорят, что определяют деформацию коммутативной алгебры C^∞(ℜ²).

Для преобразования Вейля из примера выше, ★-произведение можно записать в терминах скобки Пуассона как

$f_1\star <!--\; \star \; -->f_2=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n!}{\left(\frac{i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2}\right)}^n{\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}^n(f_1,f_2).$$f_{1}\star f_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\Pi ^{n}(f_{1},f_{2}).$ 

Здесь, Π — это пуассоновский бивектор. Оператор определён таким образом, что его степени

${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}^0(f_1,f_2)=f_1{f}_2$$\Pi ^{0}(f_{1},f_{2})=f_{1}f_{2}$ 

и

${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}^1(f_1,f_2)=\{f_1,f_2\}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q},$$\Pi ^{1}(f_{1},f_{2})=\{f_{1},f_{2}\}={\frac {\partial f_{1}}{\partial q}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial p}}-{\frac {\partial f_{1}}{\partial p}}{\frac {\partial f_{2}}{\partial q}}~,$ 

где {f₁, f₂} — скобка Пуассона. В более общем виде,

${\mathrm{\Pi <!--\; \Pi \; -->}}^n(f_1,f_2)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}^k}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->k}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^{n-<!--\; -\; -->k}}{f}_1\right)\times <!--\; \times \; -->\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->k}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}^{n-<!--\; -\; -->k}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^k}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}^k}{f}_2\right)$$\Pi ^{n}(f_{1},f_{2})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}\left({\frac {\partial ^{k}}{\partial p^{k}}}{\frac {\partial ^{n-k}}{\partial q^{n-k}}}f_{1}\right)\times \left({\frac {\partial ^{n-k}}{\partial p^{n-k}}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial q^{k}}}f_{2}\right)$ 

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$${n \choose k}$  — биномиальный коэффициент.

Так, например, гауссианы умножаются гиперболически,

$\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->a(q^2+p^2)\right)\star <!--\; \star \; -->\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->b(q^2+p^2)\right)=\frac{1}{1+{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{2}ab}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{a+b}{1+{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{2}ab}(q^2+p^2)\right),$$\exp \left(-{a}(q^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(q^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(q^{2}+p^{2})\right),$ 

или

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(q)\star <!--\; \star \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(p)=\frac{2}{h}\exp <!--\; \; -->\left(2i\frac{qp}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\right),$$\delta (q)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{qp \over \hbar }\right),$ 

и т. д. Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (обычные скобки Пуассона). Для общей формулы на произвольных многообразиях Пуассона, см. формулу квантования Концевича.

Антисимметризация этого ★-произведения известна как скобка Мояля, правильная квантовая деформация скобки Пуассона, и изоморфизм (преобразование Вигнера) квантового коммутатора из заданного в фазовом пространстве в гильбертовое пространство (обычная формулировка квантовой механики). Она представляет собой основу уравнений для квантовомеханических наблюдаемых в представлении фазового пространства.

Эти результаты используются для формулировки квантовой механики в фазовом пространстве, что полностью эквивалентна представлению операторов в гильбертовом пространстве.

Средние значения при квантовании в фазовом пространстве получены изоморфно к следовому оператору наблюдаемых Φ из матрицы плотности в гильбертовом пространстве: они получены путем интегрирования по фазовому пространству от наблюдаемых, таких как выше f с квазивероятностным распределением Вигнера в качестве меры. Классические выражения, наблюдаемых, и операций (таких как скобки Пуассона) изменяются за счёт ħ-зависимых квантовых поправок, а обычная коммутативность умножения в классической механике обобщается на некоммутативное звёздочное умножение характеризующее квантовую механику и принцип неопределенности лежащий в её основе.

Следует подчеркнуть, однако, что, несмотря на свое название, деформационное Квантование не является успешной схемой квантования, а именно метод для создания квантовой теории из классической. Она позволяет всего лишь изменить представление из гильбертова пространства в фазовое пространство.

ОбобщенияПравить

C большей обобщенностью, квантование Вейля изучается в тех случаях, когда фазовое пространство является симплектическим многообразием, или, возможно, пуассоновским многообразием. Родственные структуры включают группы Пуассона — Ли и алгебры Каца — Муди.

Дальнейшее чтениеПравить

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, vol. 267, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158 
• Case, William B. Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians (англ.) // American Journal of Physics : journal. — 2008. — October (vol. 76, no. 10). — P. 937—946. — doi:10.1119/1.2957889. — Bibcode: 2008AmJPh..76..937C. (Sections I to IV of this article provide an overview over the Wigner-Weyl transform, the Wigner quasiprobability distribution, the phase space formulation of quantum mechanics and the example of the quantum harmonic oscillator.)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Weyl quantization, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4