Представление фазового пространства

В представлении фазового пространства квантовая механика трактует единообразно как координаты, так и импульсы частиц, которые образуют фазовое пространство, в отличие от трактовки Шредингера, где используется координатное или импульсное представления (см. координатное и импульсное пространства^[en]). Два ключевых элемента физической картины в представлении фазового пространства состоят в следующем: квантовое состояние описывается квазивероятностным распределением (вместо волновой функции, векторами состояний или матрицей плотности), и оператор умножения заменяется звёздочным произведением.

Теория была полностью разработана Хилбрандом Груневолдом в 1946 году в своей кандидатской диссертации и независимо Джо Моялем. Каждая из этих работ базировались на более ранних идеях, сформулированных Германом Вейлем и Юджином Вигнером.

Главное преимущество квантовой механики в представлении фазового пространства заключается в том, что оно делает квантовую механику аналогичной гамильтоновой механике, избегая формализма операторов, тем самым «освобождая» квантование от «бремени» Гильбертова пространства. Эта формулировка носит статистический характер и предлагает логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет естественное сравнение между ними в так называемом классическом пределе, то есть при $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\hbar\rightarrow 0$. Квантовая механика в фазовом пространстве часто выступает в определённых приложениях квантовой оптики (см. оптическое фазовое пространство^[en]), при изучении декогеренции и целом ряде специальных технических проблем, хотя этот формализм редко используется на практике.

Концептуальные идеи, лежащие в основе развития квантовой механики в фазовом пространстве, воплотились в математических ответвлениях, таких как алгебраическая теория деформирования (см. формула квантования Концевича^[en]) и некоммутативная геометрия.

Распределение в фазовом пространствеПравить

Основные статьи: Функция Вигнера, Преобразование Вигнера — Вейля и Квазивероятностное распределение

Распределение в фазовое пространстве f(x,p), которое описывает квантовое состояние это квазивероятностное распределение^[en]. В представлении фазового пространства, распределение можно рассматривать как основополагающее, примитивное описание квантовой системы, без каких-либо ссылок на волновые функции или матрицы плотности.

Существует несколько различных способов представления распределений, но все они взаимосвязаны. Наиболее примечательным является представление Вигнера, W(x,p), обнаруженое первым. Другие представления (приблизительно в порядке убывания распространённости в литературе) включают P представление Глаубера — Сударшана^[en], Q представление Хусими^[en], представление Кирквуда — Рихачека, представление Мехты, представление Ривьера и представление Борна — Иордана. Эти альтернативы наиболее полезны, когда гамильтониан принимает особую форму, например при нормальном порядке для операторов^[en] в P представления Глаубера — Сударшана. Поскольку представление Вигнера является самым распространенным в литературе, то в этой статье, как правило, рассматривается оно, если не указано иное.

Распределение в фазовом пространстве обладает свойствами подобными плотности вероятности в 2n-мерном фазовом пространстве. Например, оно является вещественнозначным, в отличие от комплекснозначной волновой функции. Мы можем понимать вероятность, нахождения внутри координатного интервала. Например, путем интегрирования функция Вигнера по всем импульсам и по координатам в интервале [a,b] получим:

$\mathrm{P}<!--\; \; -->[a\le <!--\; \le \; -->X\le <!--\; \le \; -->b]={\int <!--\; \int \; -->}_a^b{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}W(x,p)dpdx.$$\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}\int _{-\infty }^{\infty }W(x,p)\,dp\,dx.$ 

Если Â(x,p) — оператор, представляющий наблюдаемую величину, то ему можно сопоставить в фазовом пространстве, величину A(x, p) через преобразование Вигнера. Наоборот, этот оператор можно восстановить через преобразование Вейля.

Среднее значение наблюдаемой по отношению к распределению в фазовом пространстве задаётся выражением

$⟨<!--\; ⟨\; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}⟩<!--\; ⟩\; -->=\int <!--\; \int \; -->A(x,p)W(x,p)dpdx.$$\langle {\hat {A}}\rangle =\int A(x,p)W(x,p)\,dp\,dx.$ 

Однако, несмотря на внешнее сходство, W(x,p) не обладает всеми свойствами подлинного совместного распределения вероятностей, потому что области под ним не являются взаимно исключающими, как требуется в четвёртой аксиоме теории вероятности (аксиома аддитивности). Кроме того, оно может, в общем случае, принимать отрицательные значения^[en] даже для чистых состояний, за уникальным исключением сжатых когерентных состояний и, соответственно, нарушать вторую аксиому Колмогорова.

Области с такими отрицательными значениями «малы»: они не могут распространяться на компактные области больше, чем несколько ħ, и, следовательно, исчезают в классическом пределе. Они защищены неопределенностью Гейзенберга, которая не позволяет точно локализовать частицу в пределах области фазового пространства меньше, чем ħ, и, таким образом, делает такие «отрицательные вероятности» менее парадоксальными. Если левую часть уравнения можно интерпретировать как среднее значение в гильбертовом пространстве по отношению к оператору, то в контексте квантовой оптики это уравнение известно как оптическая теорема эквивалентности^[en]. (Подробнее о свойствах и интерпретации функции Вигнера, смотрите главную статью.)

Альтернативный подход к квантовой механике в фазовом пространстве стремится определить волновую функцию (не только квазивероятностной плотности) на фазовом пространстве, обычно с помощью преобразования Сегала — Бергмана^[en]. Для совместимости с принципом неопределенности, волновая функция в фазовом пространстве не может быть произвольной функцией, иначе частицу можно было бы локализовать в сколь угодно малой области фазового пространства. Скорее, преобразование Сегала — Бергмана является голоморфной функцией от x+ip. Существует квазивероятностная плотность, связанная с волновой функцией в фазовом пространстве; это Q представление Хусими волновой функции в координатном представлении.

Звёздочное произведениеПравить

Основная статья: Произведение Мояля

Фундаментальный некоммутативный бинарный оператор в фазовом пространстве, который заменяет стандартный оператор умножения — это звёздочное произведение, обозначаемое символом ★. Каждое представление распределения в фазовом пространстве имеет различные звёздочные произведения. Для конкретности, здесь рассматривается звёздочное произведение, соответствующее представлению Вигнера — Вейля.

Для удобства вводятся обозначения для правой и левой производных. Для пары функций f и g левая и правая производные определяются как

$f{\stackrel{\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_{x}g=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\cdot <!--\; \cdot \; -->g$$f{\overleftarrow {\partial }}_{x}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g$ 

$f{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_{x}g=f\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}g}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}.$$f{\overrightarrow {\partial }}_{x}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.$ 

Дифференциальное определение звёздочного произведения

$f\star <!--\; \star \; -->g=f\exp <!--\; \; -->\left(\frac{i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2}({\stackrel{\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_x{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_p-<!--\; -\; -->{\stackrel{\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_p{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_x)\right)g,$$f\star g=f\,\exp {\left({\tfrac {i\hbar }{2}}({\overleftarrow {\partial }}_{x}{\overrightarrow {\partial }}_{p}-{\overleftarrow {\partial }}_{p}{\overrightarrow {\partial }}_{x})\right)}\,g,$ 

где аргумент экспоненциальной функции представляется в виде степенного ряда. Введённые дифференциальные соотношения позволяют записать это выражение в виде разницы в аргументах f и g:

${\begin{aligned}(f\star g)(x,p)&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{p},p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{x}\right)\cdot g(x,p)\\&=f(x,p)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{p},p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{x}\right)\\&=f\left(x+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{p},p\right)\cdot g\left(x-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{p},p\right)\\&=f\left(x,p-{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overrightarrow {\partial }}_{x}\right)\cdot g\left(x,p+{\tfrac {i\hbar }{2}}{\overleftarrow {\partial }}_{x}\right).\end{aligned}}$ 

Также возможно переписать ★-произведение как конволюцию, через преобразование Фурье:

$(f\star <!--\; \star \; -->g)(x,p)=\frac{1}{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\int <!--\; \int \; -->f(x+x^{\prime },p+p^{\prime })g(x+x^{″},p+p^{″})\exp <!--\; \; -->\left(\frac{2i}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}(x^{\prime }{p}^{″}-<!--\; -\; -->x^{″}{p}^{\prime })\right)d{x}^{\prime }d{p}^{\prime }d{x}^{″}d{p}^{″}.$$(f\star g)(x,p)={\frac {1}{\pi ^{2}\hbar ^{2}}}\,\int f(x+x',p+p')\,g(x+x'',p+p'')\,\exp {\left({\tfrac {2i}{\hbar }}(x'p''-x''p')\right)}\,dx'dp'dx''dp''~.$ 

Таким образом, например, гауссианы преобразуются через гиперболическую функцию

$\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->a(x^2+p^2)\right)\star <!--\; \star \; -->\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->b(x^2+p^2)\right)=\frac{1}{1+{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{2}ab}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{a+b}{1+{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^{2}ab}(x^2+p^2)\right),$$\exp \left(-{a}(x^{2}+p^{2})\right)~\star ~\exp \left(-{b}(x^{2}+p^{2})\right)={1 \over 1+\hbar ^{2}ab}\exp \left(-{a+b \over 1+\hbar ^{2}ab}(x^{2}+p^{2})\right),$ 

или

$\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)\star <!--\; \star \; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(p)=\frac{2}{h}\exp <!--\; \; -->\left(2i\frac{xp}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\right),$$\delta (x)~\star ~\delta (p)={2 \over h}\exp \left(2i{xp \over \hbar }\right),$ 

и т. д..

Собственные состояния гамильтониана для распределений известны как «звёздочные состояния», ★-состояния или ★-собственные функции, а соответствующие им собственные значения известны как звёздочные собственные значения или ★-собственные значения. Эти решения находятся аналогично как для стационарного уравнения Шрёдингера, используя уравнения для ★-собственных значений,

$H\star <!--\; \star \; -->W=E\cdot <!--\; \cdot \; -->W,$$H\star W=E\cdot W,$ 

где H — гамильтониан, простая функция в фазовом пространстве обычно аналогичная классическому гамильтониану.

Эволюция во времениПравить

Эволюция во времени^[en] распределения в фазовом пространстве задаётся квантовой модификацией лиувиллевского потока. Эта формула является результатом применения преобразования Вигнера к версии квантового уравнения Лиувилля для матрицы плотности или уравнением фон Неймана.

В любом представлении распределения в фазовом пространстве со своим ассоциированным звёздочным произведением эволюция во времени определяется уравнением

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}\left(f\star <!--\; \star \; -->H-<!--\; -\; -->H\star <!--\; \star \; -->f\right),$${\frac {\partial f}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(f\star H-H\star f\right),$ 

или для функции Вигнера в частности

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}W}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->\{\{W,H\}\}=-<!--\; -\; -->\frac{2}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}W\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2}(\stackrel{\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_x}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_p}-<!--\; -\; -->\stackrel{\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_p}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_x})\right)H=-<!--\; -\; -->\{W,H\}+O({\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2),$${\frac {\partial W}{\partial t}}=-\{\{W,H\}\}=-{\frac {2}{\hbar }}W\sin \left({{\frac {\hbar }{2}}({\overset {\leftarrow }{\partial _{x}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{x}}})}\right)\ H=-\{W,H\}+O(\hbar ^{2}),$ 

где {{ , }} — скобки Мояля, преобразование Вигнера квантового коммутатора, а { , } — классическое скобки Пуассона.

Это чёткий пример принципа соответствия: это уравнение явно сводится к классическому уравнению Лиувилля в пределе ħ → 0. Однако в квантовом потоке, плотность точек в фазовом пространстве не сохраняется, и вероятностная жидкость становится «диффузионной» и сжимаемой. Таким образом, концепция траектории квантовой частицы не определяется точно. Учитывая ограничения, установленные принципом неопределенности в отношении локализации, Нильс Бор отрицал физическое существование таких траекторий в микроскопическом масштабе. С помощью формальных траекторий в фазовом пространстве, временное уравнение для функции Вигнера можно строго решить с помощью метода интегралов по траекториям и метода квантовых характеристик^[en], хотя есть неустранимые практические препятствия в обоих случаях. См. фильм для потенциала Морзе, ниже, чтобы оценить быстрое распространение потенциальных траекторий.

ПримерыПравить

Простой гармонический осцилляторПравить

Основная статья: Квантовый гармонический осциллятор

 

Квазивероятностное распределение Вигнера F_n(u) для простого одномерного гармонического осциллятора для квантовых чисел a) n = 0, b) n = 1, и c) n = 5.

Гамильтониан для простого гармонического осциллятора в одномерном случае в представлении Вигнера — Вейля равен

$H=\frac{1}{2}m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{x}^2+\frac{p^2}{2m}.$$H={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}.$ 

Уравнение на ★-собственные значений для статической функции Вигнера имеет вид

${\begin{aligned}H\star W&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\star W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x+{\frac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}\right)^{2}+{\frac {1}{2m}}\left(p-{\frac {i\hbar }{2}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)^{2}\right)~W\\&=\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}^{2}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(p^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{4}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}^{2}\right)\right)~W\\&\,\,\,\,\,+{\frac {i\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\stackrel {\rightarrow }{\partial }}_{x}\right)~W\\&=E\cdot W.\end{aligned}}$ 

 

Эволюция во времени комбинированного состояния, состоящего из основного и 1-го возбужденного состояний Вигнера, для простого гармонического осциллятора. Обратите внимание на жесткое движение в фазовом пространстве, соответствующее обычным колебаниям в координатном пространстве. Соответствует функции Вигнера вида $W(x,p)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\left(x^2+\sqrt{2}x+p^2\right)\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->x^2-<!--\; -\; -->p^2)$$W(x,p){=}{\frac {1}{\pi }}\left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+p^{2}\right)\exp(-x^{2}-p^{2})$ 

 

Функция Вигнера для основного состояния гармонического осциллятора, смещенного от начала фазового пространства, то есть когерентное состояние. Обратите внимание на жесткое вращение, идентичное классическому движению: это особенность гармонического осциллятора, иллюстрирующая принцип соответствия.

Рассмотрим сначала мнимую часть уравнения на ★-собственные значения.

$\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{2}\left(m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}x{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_p-<!--\; -\; -->\frac{p}{m}{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}}_x\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->W=0$${\frac {\hbar }{2}}\left(m\omega ^{2}x{\overrightarrow {\partial }}_{p}-{\frac {p}{m}}{\overrightarrow {\partial }}_{x}\right)\cdot W=0$ 

Это означает, что можно записать ★-собственные значения как функцию одного аргумента,

$W(x,p)=F\left(\frac{1}{2}m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{x}^2+\frac{p^2}{2m}\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->F(u).$$W(x,p)=F\left({\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}}\right)\equiv F(u).$ 

С этой заменой переменных, можно записать действительную часть уравнения на ★-собственные значения в форме модифицированного уравнения Лагерра (не Эрмита), решения которого включают в себя полиномы Лагерра в виде

$F_n(u)=\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{L}_n\left(4\frac{u}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}\right)e^{-<!--\; -\; -->2u/\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}},$$F_{n}(u)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(4{\frac {u}{\hbar \omega }}\right)e^{-2u/\hbar \omega }~,$ 

введенные Груневолдом в его статье, которые соответствуют ★-собственным значениям

$E_n=\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\left(n+\frac{1}{2}\right).$$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)~.$ 

Для гармонического осциллятора эволюция во времени произвольного распределения Вигнера тривиальна. Начальная функция W(x,p; t=0) = F(u) развивается во времени с помощью приведенного выше уравнения для гамильтониана осциллятора — она просто жёстко вращается в фазовом пространстве,

$W(x,p;t)=W(m\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t-<!--\; -\; -->p\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t,p\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}mx\sin <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t;0).$$W(x,p;t)=W(m\omega x\cos \omega t-p\sin \omega t,~p\cos \omega t+\omega mx\sin \omega t;0)~.$ 

Как правило, «холм» (или когерентное состояние) энергии E ≫ ħω может представлять макроскопическую величину и выглядит как классический объект, равномерно вращающийся в фазовом пространстве и напоминает простой механический осциллятор (см. Анимированные фигуры). Интегрируя по всем фазам (начальные позиции при t = 0) таких объектов, непрерывный «палисад», дает не зависящую от времени конфигурацию, аналогичную приведенным выше статическим ★-состояниям F(u) и интуитивную визуализацию классического предела^[en] для систем с большим действием.

Угловой момент свободной частицыПравить

Предположим, что частица первоначально находится в минимально неопределенном гауссовском состоянии, причем ожидаемые значения положения и импульса центрированы в начале координат в фазовом пространстве. Функция Вигнера для такого свободно распространяющегося состояния,

$W(\mathbf{x},\mathbf{p};t)=\frac{1}{(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{)}^3}\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{r}^2-<!--\; -\; -->\frac{p^2}{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}\left(1+{\left(\frac{t}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\right)}^2\right)+\frac{2t}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathbf{x}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{p}\right),$$W(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ;t)={\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp {\left(-\alpha ^{2}r^{2}-{\frac {p^{2}}{\alpha ^{2}\hbar ^{2}}}\left(1+\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{2}\right)+{\frac {2t}{\hbar \tau }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {p} \right)}~,$ 

где α — параметр, описывающий начальную ширину гауссиана и τ = m/α²ħ.

Первоначальное положение и импульсы некоррелированы. Таким образом, в трех измерениях мы ожидаем, что векторы положения и импульса будут в два раза более вероятно расположены перпендикулярно друг другу, чем параллельно.

Однако положение и импульс становятся все более коррелированными по мере того, как состояние эволюционирует во времени, поскольку части распределения дальше от центра соответствуют большему импульсу: асимптотически

$W⟶<!--\; ⟶\; -->\frac{1}{(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}{)}^3}\exp <!--\; \; -->\left[-<!--\; -\; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{\left(\mathbf{x}-<!--\; -\; -->\frac{\mathbf{p}t}{m}\right)}^2\right].$$W\longrightarrow {\frac {1}{(\pi \hbar )^{3}}}\exp \left[-\alpha ^{2}\left(\mathbf {x} -{\frac {\mathbf {p} t}{m}}\right)^{2}\right]\,.$ 

Это относительное «сжатие» отражает распространение пакета свободной волны в координатном пространстве.

Действительно, можно показать, что кинетическая энергия частицы становится асимптотически радиальной только в согласии со стандартным квантовомеханическим представлением о ненулевом угловом моменте основного состояния, определяющем независимость от направления:

$K_{rad}=\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\left(\frac{3}{2}-<!--\; -\; -->\frac{1}{1+(t/\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{)}^2}\right)$$K_{rad}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}\right)$ 

$K_{ang}=\frac{{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{2m}\frac{1}{1+(t/\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{)}^2}.$$K_{ang}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{1+(t/\tau )^{2}}}~.$ 

Потенциал МорзеПравить

Потенциал Морзе используется для аппроксимации колебательной структуры двухатомной молекулы.

Эволюция во времени для функции Вигнера для потенциала Морзе U(x) = 20(1 − e^−0.16x)² в атомных единицах. Сплошные линии представляют собой набор уровней для гамильтониана H(x, p) = p²/2 + U(x).

Квантовое туннелированиеПравить

Туннелирование — это ключевой квантовый эффект, когда квантовая частица, не обладающая достаточной энергией для пролёта выше барьера, все же проходит через него. Этот эффект не существует в классической механике.

Функция Вигнера для туннелирования через потенциальный барьер U(x) = 8e^−0.25x2 в атомных единицах. Сплошные линии представляют собой набор уровней для гамильтониана H(x, p) = p²/2 + U(x).

Потенциал четвёртой степениПравить

Эволюция во времени для функции Вигнера для потенциала U(x) = 0.1x⁴ в атомных единицах. Сплошные линии представляют собой набор уровней для гамильтониана H(x, p) = p²/2 + U(x).

Состояние кота ШрёдингераПравить

 

Функция Вигнера двух интерферирующих когерентных состояний, эволюционирующих согласно гамильтониану гармонического осциллятора. Соответствующие импульсные и координатные проекции изображены справа и внизу от амплитуды в фазовом пространстве.