Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число $a$$a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$$\{ x_n \}$, если для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon > 0$ существует номер $N_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$N_\varepsilon$, зависящий от $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$, такой, что для любого $n>N_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$$n > N_\varepsilon$ выполняется неравенство $\ |x_n - a| < \varepsilon$.

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

ИсторияПравить

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

ОпределениеПравить

Число $a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$a\in \mathbb {R}$  называется пределом числовой последовательности $\{x_n\}$$\{x_n\}$ , если последовательность $\{x_n-<!--\; -\; -->a\}$$\{x_{n}-a\}$  является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon$ 

(для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон)

Если число $a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$a\in \mathbb {R}$  является пределом числовой последовательности $\{x_n\}$$\{x_n\}$ , то говорят также, что последовательность $\{x_n\}$$\{x_n\}$  сходится к $a$$a$ . Если никакое вещественное число не является пределом последовательности $\{x_n\}$$\{x_n\}$ , её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность $\{x_n\}$$\{x_n\}$  стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\iff <!--\; \iff \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}E>0\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N(E)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}:<!--\; :\; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n⩾<!--\; ⩾\; -->N\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->|x_n|>E$$\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E$ 

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\iff <!--\; \iff \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}E>0\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N(E)\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}:<!--\; :\; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n⩾<!--\; ⩾\; -->N\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x_n>E$$\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n > E$ 

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

$\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n < -E$ 

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек (что равносильно, наибольший частичный предел).

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

ОбозначенияПравить

Тот факт, что последовательность $\{x_n\}$$\{x_n\}$  сходится к числу $a$$a$  обозначается одним из следующих способов:

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=a$$\lim_{n \to \infty} x_n = a$ 

или

• $x_n\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{}{\to }}a$$x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a$ 

СвойстваПравить

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из приводимых ниже (доказуемых по определению) свойств предела.

СвойстваПравить

• Единственность предела.

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=a,\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=b\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->a=b$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$ 

Арифметические свойстваПравить

• взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
  • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

    $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(x_n+y_n)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n+\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{y}_n$$\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n$ 

  • Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

    $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}k\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}:<!--\; :\; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}k{x}_n=k\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n$$\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n$ 

• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

  $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(x_n\cdot <!--\; \cdot \; -->y_n)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n\cdot <!--\; \cdot \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{y}_n$$\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$ 

• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

  $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{x_n}{y_n}=\frac{\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n}{\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{y}_n}$$\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{{n\to \infty }}x_{n}}{\lim \limits _{{n\to \infty }}y_{n}}}$ 

Свойства сохранения порядкаПравить

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

  $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n⩾<!--\; ⩾\; -->N:<!--\; :\; -->x_n⩽<!--\; ⩽\; -->a\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n⩽<!--\; ⩽\; -->a$$\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$ 

• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

  $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n⩾<!--\; ⩾\; -->N:<!--\; :\; -->x_n⩾<!--\; ⩾\; -->a\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n⩾<!--\; ⩾\; -->a$$\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$ 

• Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

  $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$ 

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

  $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n⩾<!--\; ⩾\; -->N:<!--\; :\; -->x_n>a\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n⩾<!--\; ⩾\; -->a$$\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$ 

• Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

  $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n⩾<!--\; ⩾\; -->N:<!--\; :\; -->x_n⩽<!--\; ⩽\; -->y_n\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{y}_n$$\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$ 

• Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

  $\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n⩾<!--\; ⩾\; -->N:<!--\; :\; -->x_n⩽<!--\; ⩽\; -->z_n⩽<!--\; ⩽\; -->y_n\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{z}_n⩽<!--\; ⩽\; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{y}_n$$\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$ 

Другие свойстваПравить

• Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.

  $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=a\wedge <!--\; \wedge \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=b\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->a=b$$\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Rightarrow ~ a = b$ 

• Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

  $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}:<!--\; :\; -->x_n\in <!--\; \in \; -->[a,b]\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n\in <!--\; \in \; -->[a,b]$$\forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b]$ 

• Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

  $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}x=x$$\lim_{n \to \infty} x = x$ 

• Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
• Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.

• Имеет место теорема Штольца.

• Если у последовательности $x_n$$x_n$  существует предел, то последовательность средних арифметических $\frac{x_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_n}{n}$$\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$  имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

• Если у последовательности чисел $\{x_n\}$$\{x_n\}$  существует предел $x$$x$ , и если задана функция $f(x)$$f(x)$ , определённая для каждого $x_n$$x_{n}$  и непрерывная в точке $x$$x$ , то

  $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}f(x_n)=f(x)$$\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$ 

ПримерыПравить

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{1}{n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{n}=0$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$ 

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}q\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}:<!--\; :\; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{q^n}{n!}=0$$\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$ 

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\sqrt[n]{n}=1$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ 

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$ 

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}\setminus <!--\; \setminus \; -->\{0\}:<!--\; :\; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{n}{\underset{⏟<!--\; ⏟\; -->}{\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\sqrt{a}}}}}=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$$\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a}}}}_{n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$ 

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{x}_n=x\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\sqrt[n]{\underset{k=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{x}_k}=x$$\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$ 

• $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}:<!--\; :\; -->x_n>0\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{x_{n+1}}{x_n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\sqrt[n]{x_n}$$\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n}$ 

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}n=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$ 

• $\mathrm{\nexists <!--\; \nexists \; -->}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}(-<!--\; -\; -->1{)}^n$$\nexists \lim_{n \to \infty} (-1)^n$ 

Случай комплексных чиселПравить

Комплексное число $a$$a$  называется пределом последовательности $\{z_n\}$$\{z_n\}$ , если для любого положительного числа $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  можно указать такой номер $N=N(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$N=N(\varepsilon)$ , начиная с которого все элементы $z_n$$z_n$  этой последовательности удовлетворяют неравенству
$|z_n - a|< \varepsilon$  при $n⩾<!--\; ⩾\; -->N(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$n\geqslant N(\varepsilon )$ 

Последовательность $\{z_n\}$$\{z_n\}$ , имеющая предел $a$$a$ , называется сходящейся к числу $a$$a$ , что записывается в виде $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{z}_n=a$$\lim \limits _{{n\to \infty }}z_{n}=a$ .

ПримерыПравить

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве $x_n$$x_n$  последовательность $x_n=(-<!--\; -\; -->1{)}^n$$x_n = (-1)^n$ , то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, $1,-<!--\; -\; -->1$$1, -1$ , то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

См. такжеПравить

• Частичный предел
• Замечательные пределы
• Фундаментальная последовательность
• Ряд
• Предел функции
• Неопределённости пределов
• Сравнение бесконечно малых величин
• Последовательность