Теорема о двух милиционерах

Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Графики функций $y=x^2$${\color {OliveGreen}y=x^{2}}$, $y=x^2\sin <!--\; \; -->\frac{1}{x}$${\color {Blue}y=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}}$ и $y=-<!--\; -\; -->x^2$${\color {Orange}y=-x^{2}}$

Если функция $y=f(x)$$y=f(x)$ такая, что $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)⩽<!--\; ⩽\; -->f(x)⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$ для всех $x$$x$ в некоторой окрестности точки $a$$a$, причём функции $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ и $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\psi(x)$ имеют одинаковый предел при $x\to <!--\; \to \; -->a$$x\to a$, то существует предел функции $y=f(x)$$y=f(x)$ при $x\to <!--\; \to \; -->a$$x\to a$, равный этому же значению, то есть $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)=\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)=A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)=A.$$\lim _{{x\to a}}\varphi (x)=\lim _{{x\to a}}\psi (x)=A\Rightarrow \lim _{{x\to a}}f(x)=A.$

Также такое название имеет аналогичная теорема о пределе последовательностей, формулирующаяся следующим образом:

Если последовательность $a_n$$a_n$ такая, что $b_n⩽<!--\; ⩽\; -->a_n⩽<!--\; ⩽\; -->c_n$$b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant c_{n}$ для всех $n$$n$, причём последовательности $b_n$$b_n$ и $c_n$$c_n$ имеют одинаковый предел при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$, то существует предел последовательности $a_n$$a_n$ при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$, равный этому же значению, то есть $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{b}_n=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{c}_n=A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{a}_n=A.$$\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=\lim _{{n\to \infty }}c_{n}=A\Rightarrow \lim _{{n\to \infty }}a_{n}=A.$

ДоказательствоПравить

Из неравенства $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)⩽<!--\; ⩽\; -->f(x)⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\varphi (x)\leqslant f(x)\leqslant \psi (x)$  получаем неравенство $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->A⩽<!--\; ⩽\; -->f(x)-<!--\; -\; -->A⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->A$$\varphi (x)-A\leqslant f(x)-A\leqslant \psi (x)-A$ . Условие $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)=A=\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\lim \limits _{{x\to a}}\varphi (x)=A=\lim \limits _{{x\to a}}\psi (x)$  позволяет сказать, что для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует окрестность $U_a$$U_{a}$ , в которой верны неравенства $\left|\varphi (x)-A\right|<\varepsilon$  и $\left|\psi (x)-A\right|<\varepsilon$ . Из изложенных выше неравенств следует, что $\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$  при $x\in <!--\; \in \; -->U_a$$x\in U_{a}$ , что удовлетворяет определению предела, то есть $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a}{lim}f(x)=A$$\lim \limits _{{x\to a}}f(x)=A$ .

Название и зарубежная терминологияПравить

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера под руки ведут задержанного в участок, то он вынужден идти вместе с ними.

В разных странах эта теорема называется по-разному. Теорема сжатия, теорема о промежуточной функции, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

См. такжеПравить

• Предел последовательности
• Предел функции

СсылкиПравить

• Обсуждение названия теоремы в разных странах