Частичный предел последовательности

Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.

Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.

Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.

ОпределенияПравить

Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. В противном случае, говорят, что у последовательности нет частичных пределов. В некоторой литературе в случаях, если из последовательности удаётся выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой одновременно положительны или отрицательны, её частичным пределом называют соответственно $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$  или $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$ .

Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.

Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.

Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую. Эти определения эквивалентны, так как точная грань множества предельных точек обязательно принадлежит этому множеству.

ОбозначенияПравить

Нижний предел последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ :

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->x_n$$\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}$  (в отечественной литературе);

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim inf}{x}_n$$\liminf _{{n\to \infty }}x_{n}$  (в иностранной литературе).

Верхний предел последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ :

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->x_n$$\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}$  (в отечественной литературе);

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim sup}{x}_n$$\limsup _{{n\to \infty }}x_{n}$  (в иностранной литературе).

ПримерыПравить

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{1}{n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{1}{n}=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{1}{n}=0$$\varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ 

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->{\left(-<!--\; -\; -->1\right)}^n=-<!--\; -\; -->1$$\varliminf _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=-1$ 

• $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->{\left(-<!--\; -\; -->1\right)}^n=+1$$\varlimsup _{{n\to \infty }}\left(-1\right)^{n}=+1$ 

• $\mathrm{\nexists <!--\; \nexists \; -->}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->n,\mathrm{\nexists <!--\; \nexists \; -->}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->n$$\nexists \varliminf _{{n\to \infty }}n,\nexists \varlimsup _{{n\to \infty }}n$  (в другой терминологии оба предела равны $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ )

СвойстваПравить

• Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.
• У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$  и $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$  допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
• Числовая последовательность $\{x_n\}$$\{x_n\}$  сходится к $a$$a$  тогда и только тогда, когда $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->x_n=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->x_n=a$$\varliminf _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=\varlimsup _{{n\rightarrow \infty }}{x_{{n}}}=a$ .
• Для любого наперёд взятого положительного числа $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  все элементы ограниченной числовой последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ , начиная с некоторого номера, зависящего от $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ , лежат внутри интервала $\left(\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->x_n-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->},\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->x_n+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\right)$$\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}+\varepsilon \right)$ .
• Если за пределами интервала $\left(a,b\right)$$\left(a,b\right)$  лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ , то интервал $\left(\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->x_n,\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->x_n\right)$$\left(\varliminf _{{n\to \infty }}x_{n},\varlimsup _{{n\to \infty }}x_{n}\right)$  содержится в интервале $\left(a,b\right)$$\left(a,b\right)$ .
• Множество частичных пределов замкнуто.

ПримечанияПравить