Потенциальный оператор

Потенциальный оператор — математический оператор, отображающий открытое множество вещественного нормированного пространства в сопряжённое пространство и являющийся градиентом некоторого функционала с областью значений в сопряжённом пространстве.

ОпределениеПравить

Обозначим $E$$E$  — вещественное нормированное пространство, $E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$E^{*}$  — сопряжённое к нему пространство,$A$$A$  — открытое множество из $E$$E$ . Оператор $F:A\to <!--\; \to \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$F:A\rightarrow E^{*}$  называется потенциальным, если для всякого $x\in <!--\; \in \; -->A$$x\in A$  существует такой функционал $f(x)\in <!--\; \in \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$f(x)\in E^{*}$ , что $F(x)=gradf(x)$$F(x)=gradf(x)$ . Функционал $f(x)$$f(x)$  называется потенциалом оператора $F$$F$ .

Условие потенциальности операторовПравить

Пусть оператор $F:E\to <!--\; \to \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$F:E\rightarrow E^{*}$  дифференцируем по Гато в каждой точке выпуклого открытого множества $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->E$$\omega \subset E$ . Тогда если дифференциал $DF(x,h)$$DF(x,h)$  непрерывен по $x$$x$  в каждой точке из $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ , то для потенциальности $F$$F$  в $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  необходимо и достаточно, чтобы $F$$F$  был симметрическим в $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ .

ПоясненияПравить

Оператор $F:E\to <!--\; \to \; -->E^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$F:E\rightarrow E^{*}$  называется симметрическим в точке $x_0$$x_{{0}}$ , если он имеет дифференциал Гато в некоторой окрестности точки $x_0$$x_{{0}}$  и для любых $h_1,h_2\in <!--\; \in \; -->E$$h_{1},h_{2}\in E$  выполняется равенство $⟨<!--\; ⟨\; -->DF(x_0,h_1)h_2⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨<!--\; ⟨\; -->DF(x_0,h_2)h_1⟩<!--\; ⟩\; -->$$\langle DF(x_{0},h_{1})h_{2}\rangle =\langle DF(x_{0},h_{2})h_{1}\rangle$ .

Оператор НемыцкогоПравить

Оператор Немыцкого задаётся формулой $hu=g(u(x),x)$$hu=g(u(x),x)$ , где $g(u,x)$$g(u,x)$  — вещественная функция, непрерывная по $u\in <!--\; \in \; -->[-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}]$$u\in [-\infty ,+\infty ]$  при почти каждом фиксированном $x\in <!--\; \in \; -->B$$x\in B$  и измерима как функция $x$$x$  при всяком фиксированном $u$$u$  и выполнено неравенство $|g(u,x)|⩽<!--\; ⩽\; -->a(x)+b|u{|}^{p-<!--\; -\; -->1}$$|g(u,x)|\leqslant a(x)+b|u|^{p-1}$ , где $p>1$$p>1$ , $a(x)\in <!--\; \in \; -->L^p(B)$$a(x)\in L^{p}(B)$ , $B$$B$  — измеримое множество конечной или бесконечной лебеговой меры, принадлежащее $s$$s$ -мерному евклидову пространству.

Оператор Немыцкого является непрерывным потенциальным оператором. Он действует из пространства Лебега $L^p(B)$$L^{p}(B)$  в пространство Лебега $L^q(B)$$L^{q}(B)$ , где $p^{-<!--\; -\; -->1}+q^{-<!--\; -\; -->1}=1$$p^{-1}+q^{-1}=1$  и его потенциал $f$$f$  определяется формулой $f(u)=f_0+{\int <!--\; \int \; -->}_{B}dx{\int <!--\; \int \; -->}_0^{u(x)}g(v,x)dv$$f(u)=f_{0}+\int _{B}dx\int _{0}^{u(x)}g(v,x)dv$ , где $f_0$$f_{0}$  — произвольное число.

ЛитератураПравить

• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.