Хиральный узел

В теории узлов хиральный узел — это узел, который не эквивалентен своему зеркальному отражению. Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отражению, называется амфихиральным узлом или ахиральным узлом. Хиральность узла является инвариантом узла. Хиральность узлов можно далее классифицировать в зависимости от того, обратим он или нет.

Существует только 5 типов симметрий узлов, определяемых хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, обратимый, положительно амфихиральный необратимый, отрицательно амфихиральный необратимый и полностью амфихиральный обратимый ^[1].

История вопросаПравить

Хиральность некоторых узлов давно подозревалась и доказана Максом Деном в 1914 году. П. Г. Тэт высказал гипотезу, что все амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений, но Морвен Тислуэйт^[en] в 1998 году нашёл контрпример^[2]. Однако гипотеза Тэйта доказана для простых альтернированных узлов^[3].

Число узлов каждого вида хиральности для каждого числа пересечений
Число пересечений	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	OEIS sequence
Хиральные узлы	1	0	2	2	7	16	49	152	552	2118	9988	46698	253292	1387166	N/A
Двусторонние узлы	1	0	2	2	7	16	47	125	365	1015	3069	8813	26712	78717	A051769
Полностью хиральные узлы	0	0	0	0	0	0	2	27	187	1103	6919	37885	226580	1308449	A051766
Амфихиральные узлы	0	1	0	1	0	5	0	13	0	58	0	274	1	1539	A052401
Положительно амфихиральные узлы	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	6	0	65	A051767
Отрицательно амфихиральные узлы	0	0	0	0	0	1	0	6	0	40	0	227	1	1361	A051768
Полностью амфихиральные узлы	0	1	0	1	0	4	0	7	0	17	0	41	0	113	A052400

Оба возможных трилистника.
Левый трилистник.
Правый трилистник.

Простейший хиральный узел — трилистник, хиральность которого показал Макс Ден. Все торические узлы хиральны. Многочлен Александера не может определить хиральность узла, а вот многочлен Джонса в некоторых случаях может. Если V_k(q) ≠ V_k(q⁻¹), то узел хирален, однако обратное не обязательно верно. Многочлен HOMFLY ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность^[4].

Двусторонний узелПравить

Обратимый хиральный узел называется двусторонним^[5]. Среди примеров двусторонних узлов — трилистник.

Полностью хиральный узелПравить

Если узел не эквивалентен ни своему обратному, ни своему зеркальному образу, он называется полностью хиральным, пример — узел 9 32^[5].

Амфихиральный узелПравить

восьмёрка является простейшим амфихиральным узлом.

Амфихиральный узел — это узел, имеющий автогомеоморфизм α 3-сферы, который обращает ориентацию и фиксирует узел как множество.

Все амфихиральные альтернированные имеют чётное число пересечений. Первый амфихиральный узел с нечётным числом пересечений, а именно с 15 пересечениями, нашёл Хосте (Hoste) и др.^[3]

Полная амфихиральностьПравить

Если узел изотопен своему обратному и своему зеркальному образу, его называют полностью амфихиральным. Простейшим узлом с этим свойством является восьмёрка.

Положительная амфихиральностьПравить

Если автогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, говорят о положительной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла своему зеркальному отражению. Никакой из узлов с числом пересечений меньшим двенадцати не является положительно амфихиральным^[5].

Отрицательная амфихиральностьПравить

Первый отрицательно амфихиральный узел.

Если автогомеоморфизм α обращает ориентацию узла, говорят об отрицательной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла обратному зеркальному отражению. Узел с этим свойством с минимальным числом пересечением — это 8₁₇^[5].

ПримечанияПравить

↑ Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33—48.
↑ Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. «History of Knot Theory and Certain Applications of Knots and Links Архивная копия от 20 августа 2011 на Wayback Machine», LinKnot.
↑ ¹ ² Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.
↑ «Chirality of Knots 9₄₂ and 10₇₁ and Chern-Simons Theory» by P. Ramadevi, T. R. Govindarajan, and R. K. Kaul
↑ ¹ ² ³ ⁴ Three Dimensional Invariants Knot Atlas

ЛитератураПравить

Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вып. 4. — doi:10.1007/BF03025227. Архивировано 15 декабря 2013 года.

[_bd09ca3787069b73-1] Hoste, Thistlethwaite, Weeks, 1998, с. 33—48.

[2] Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. «History of Knot Theory and Certain Applications of Knots and Links Архивная копия от 20 августа 2011 на Wayback Machine», LinKnot.

[Mathworld-3] ¹ ² Weisstein, Eric W. Amphichiral Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.

[4] «Chirality of Knots 9₄₂ and 10₇₁ and Chern-Simons Theory» by P. Ramadevi, T. R. Govindarajan, and R. K. Kaul

[Atlas-5] ¹ ² ³ ⁴ Three Dimensional Invariants Knot Atlas

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]