Многочлен HOMFLY

Многочлен HOMFLY — инвариант зацепления в форме многочлена двух переменных.

Является одним из самых чувствительных инвариантов зацеплений. В частности, многочлены Джонса и Александера выражаются через HOMFLY подстановками. В то же время HOMFLY вычисляется проще вышеназванных многочленов.

Название HOMFLY объединяет инициалы его авторов: Джима Хоста, Адриана Окняну, Кеннета Миллетта, Питера Дж. Фрейда, У. Б. Р. Ликориша и Дэвида Н. Йеттера. Иногда многочлен называют HOMFLY-PT, указывая на связанную независимую работу Юзефом Х. Пшитицким и Павлом Трачиком.

ОпределениеПравить

HOMFLY зацепления — многочлен двух переменных m и l и определяется скейн-соотношением:

$P(\text{тривиальный узел})=1,$$P({\text{тривиальный узел}})=1,$ 

$\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}P(L_{+})+{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}P(L_{-<!--\; -\; -->})+mP(L_0)=0,$$\ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,$ 

где $L_{+},L_{-<!--\; -\; -->},L_0$$L_{+},L_{-},L_{0}$  — зацепления, образованные перестройками у одного пересечения диаграммы, как показано на рисунке.

 

Многочлен HOMFLY зацепления L, которое является разделённым объединением двух зацеплений $L_1$$L_{1}$ и $L_2$$L_{2}$ , задаётся как

$P(L)=\frac{-<!--\; -\; -->(\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}+{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1})}{m}P(L_1)P(L_2).$$P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).$ 

СвойстваПравить

• HOMFLY мултипликативен относительно связной суммы узлов:

  $P(L_1\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}{L}_2)=P(L_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->P(L_2).$$P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})\cdot P(L_{2}).$ 

• Если $K^{\prime }$$K'$  — отражение зацепления $K$$K$ , то

  $P_K(\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->},m)=P_{K^{\prime }}({\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1},m),$$P_{K}(\ell ,m)=P_{K'}(\ell ^{-1},m),$ .

  • В частности, многочлен HOMFLY можно использовать для различения двух узлов разной хиральности. Однако существуют хиральные пары узлов, которые имеют один и тот же многочлен HOMFLY, например, узлы 9₄₂ и 10₇₁

ЛитератураПравить

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.