Пересечение множеств

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств $A$$A$ и $B$$B$ обычно обозначается $A\cap <!--\; \cap \; -->B$$A\cap B$, но в редких случаях может обозначаться $AB$$AB$.

Пересечение $A$$A$ и $B$$B$

ОпределениеПравить

Пересечение двух множествПравить

Пусть даны множества $A$$A$  и $B$$B$ . Тогда их пересечением называется множество

$A\cap <!--\; \cap \; -->B=\{x\mid <!--\; \mid \; -->x\in <!--\; \in \; -->A\wedge <!--\; \wedge \; -->x\in <!--\; \in \; -->B\}.$$A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.$ 

Пересечение семейства множествПравить

Пусть дано семейство множеств $\{M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{\}}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}.$$\{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.$  Тогда его пересечением называется множество, состоящее из элементов, которые входят во все множества семейства:

$\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}{M}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=\{x\mid <!--\; \mid \; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A,x\in <!--\; \in \; -->M_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}.$$\bigcap \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \forall \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.$ 

СвойстваПравить

• Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане $2^X$$2^{X}$ ;
• Операция пересечения множеств коммутативна

  $A\cap <!--\; \cap \; -->B=B\cap <!--\; \cap \; -->A;$$A\cap B=B\cap A;$ 

• Операция пересечения множеств ассоциативна:

  $(A\cap <!--\; \cap \; -->B)\cap <!--\; \cap \; -->C=A\cap <!--\; \cap \; -->(B\cap <!--\; \cap \; -->C);$$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);$ 

• Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:

  $\left(\underset{k}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{A}_k\right)\cap <!--\; \cap \; -->B=\underset{k}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}\left(A_k\cap <!--\; \cap \; -->B\right)$$\left(\bigcup _{k}A_{k}\right)\cap B=\bigcup _{k}\left(A_{k}\cap B\right)$ 

• Универсальное множество $U$$U$  является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

  $A\cap <!--\; \cap \; -->U=A;$$A\cap U=A;$ 

• Операция пересечения множеств идемпотентна:

  $A\cap <!--\; \cap \; -->A=A;$$A\cap A=A;$ 

• Если $\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}$$\varnothing$  — пустое множество, то

  $A\cap <!--\; \cap \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}=\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}.$$A\cap \varnothing =\varnothing .$ 

ПримерПравить

Пусть $A=\{1,2,3,4\}$$A=\{1,\;2,\;3,\;4\}$ , $B=\{3,4,5,6,7\}$$B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$ . Тогда

$A\cap <!--\; \cap \; -->B=\{3,4\}.$$A\cap B=\{3,\;4\}.$ 

См. такжеПравить

• Операции над множествами