Первая и вторая теоремы Хелли

Между функциями распределения $\left\{F_{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\left(x\right)\right\}$$\left\{F_{\xi }\left(x\right)\right\}$ и множеством их характеристических функций $\left\{f_{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\left(t\right)\right\}$$\left\{f_{\xi }\left(t\right)\right\}$ существует взаимно однозначное соответствие.

В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.

Первая и вторая теоремы ХеллиПравить

Первая теорема ХеллиПравить

Из всякой последовательности функций распределения $\left\{F_x\right\}$$\left\{F_{x}\right\}$  можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.

Вторая теорема ХеллиПравить

Если $g\left(x\right)$$g\left(x\right)$  — непрерывная ограниченная функция на прямой и $F_n\left(x\right)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F\left(x\right),F\left(\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)-<!--\; -\; -->F\left(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=1,$$F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right),F\left(\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1,$  то

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g\left(x\right)dF\left(x\right)$$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)$ 

Доказательство первой теоремы ХеллиПравить

Пусть $D=\left\{x_k\right\}$$D=\left\{x_{k}\right\}$  — всюду плотное на прямой счетное множество.

Из ограниченной последовательности $0\le <!--\; \le \; -->F_n\left(x_1\right)\le <!--\; \le \; -->1$$0\leq F_{n}\left(x_{1}\right)\leq 1$  выбираем сходящуюся подпоследовательность $F_{1n}\left(x_1\right)$$F_{1n}\left(x_{1}\right)$ , предел которой обозначим $F\left(x_1\right).$$F\left(x_{1}\right).$ 

Из ограниченной последовательности $0\le <!--\; \le \; -->F_{1n}\left(x_2\right)\le <!--\; \le \; -->1$$0\leq F_{1n}\left(x_{2}\right)\leq 1$  выбираем сходящуюся подпоследовательность $F_{2n}\left(x_2\right)\to <!--\; \to \; -->F\left(x_2\right)$$F_{2n}\left(x_{2}\right)\rightarrow F\left(x_{2}\right)$  и т. д.

Далее выбираем диагональную подпоследовательность $f_{nn}\left(x\right)$$f_{nn}\left(x\right)$ , для которой $F_{nn}\left(x\right)\to <!--\; \to \; -->F\left(x\right)$$F_{nn}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$  для любой точки $x_k\in <!--\; \in \; -->D.$$x_{k}\in D.$ 

По лемме отсюда вытекает $F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F\left(x\right).$$F_{nn}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$ 

ЛеммаПравить

Если $F_n\left(x\right)\to <!--\; \to \; -->F\left(x\right)$$F_{n}\left(x\right)\rightarrow F\left(x\right)$  на всюду плотном на прямой множестве $D$$D$ , то $F_n\left(x\right)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F\left(x\right).$$F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right).$ 

ЗамечаниеПравить

$F\left(x\right)$$F\left(x\right)$  может не быть функцией распределения. Например, если $F_n\left(x\right)=0$$F_{n}\left(x\right)=0$  при $x<n$  и $F_n\left(x\right)=1$$F_{n}\left(x\right)=1$  при $x\ge <!--\; \ge \; -->n,$$x\geq n,$  то $F_n\left(x\right)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F\left(x\right)=0.$$F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)=0.$ 

Доказательство второй теоремы ХеллиПравить

Пусть $a<b$  — точки непрерывности $F\left(x\right)$$F\left(x\right)$ .Докажем сначала, что

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$ .

Пусть $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$ . Разделим $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$  точками непрерывности $a=x_0,x_1,...,x_{N-<!--\; -\; -->1},x_N=b$$a=x_{0},x_{1},...,x_{N-1},x_{N}=b$  функции $F\left(x\right)$$F\left(x\right)$  на такие отрезки $\left[x_{k-<!--\; -\; -->1},x_k\right]$$\left[x_{k-1},x_{k}\right]$ , что $\left|g\left(x\right)-g\left(x_{k}\right)\right|<\varepsilon$  для точек $x\in <!--\; \in \; -->\left[x_{k-<!--\; -\; -->1},x_k\right]$$x\in \left[x_{k-1},x_{k}\right]$ .

Это сделать можно, так как $g\left(x\right)$$g\left(x\right)$  равномерно непрерывна на $\left[a,b\right]$$\left[a,b\right]$ , а точки непрерывности $F\left(x\right)$$F\left(x\right)$  расположены всюду плотно.

Определим ступенчатую функцию.

$g_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\left(x\right)=g\left(x_k\right)$$g_{\varepsilon }\left(x\right)=g\left(x_{k}\right)$  на $x\in <!--\; \in \; -->\left(x_{k-<!--\; -\; -->1},x_k\right]$$x\in \left(x_{k-1},x_{k}\right]$ .

Тогда

$\left|{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\le <!--\; \le \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^b\left|g\left(x\right)-<!--\; -\; -->g_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\left(x\right)\right|d{F}_n\left(x\right)+\left|{\int <!--\; \int \; -->}_a^b{g}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}d{F}_n-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^b{g}_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}dF\right|+{\int <!--\; \int \; -->}_a^b\left|g\left(x\right)-<!--\; -\; -->g_{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}\left(x\right)\right|dF\left(x\right)\le <!--\; \le \; -->$$\left|\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF_{n}\left(x\right)+\left|\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF_{n}-\int _{a}^{b}g_{\varepsilon }dF\right|+\int _{a}^{b}\left|g\left(x\right)-g_{\varepsilon }\left(x\right)\right|dF\left(x\right)\leq$ 

$\le <!--\; \le \; -->2\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+\mathsf{M}\left[\underset{k=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left[F_n\left(x_k\right)-<!--\; -\; -->F\left(x_k\right)-<!--\; -\; -->\left(F_n\left(x_{k-<!--\; -\; -->1}\right)-<!--\; -\; -->F\left(x_{k-<!--\; -\; -->1}\right)\right)\right]\right].$$\leq 2\varepsilon +{\mathsf {M}}\left[\sum _{k=1}^{N}\left[F_{n}\left(x_{k}\right)-F\left(x_{k}\right)-\left(F_{n}\left(x_{k-1}\right)-F\left(x_{k-1}\right)\right)\right]\right].$ 

где $\mathsf{M}=su{p}_x\left|g\left(x\right)\right|.$${\mathsf {M}}=sup_{x}\left|g\left(x\right)\right|.$ .

При $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow\infty$  последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right).$$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right).$ 

Для доказательства

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g\left(x\right)dF\left(x\right)$$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)$ 

выберем $X>0$$X>0$  таким, чтобы $F\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}$  и $1-F\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{4}}$  и чтобы точки $\pm <!--\; \pm \; -->X$$\pm X$  были точками непрерывности $F\left(x\right).$$F\left(x\right).$ 

Тогда, так как $F_n\left(\pm <!--\; \pm \; -->X\right)\to <!--\; \to \; -->F\left(\pm <!--\; \pm \; -->X\right)$$F_{n}\left(\pm X\right)\rightarrow F\left(\pm X\right)$  можно выбрать $n_0$$n_{0}$  таким, что при $n\geq n_{0},F_{n}\left(-X\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}$  и $1-F_{n}\left(X\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.$ 

Оценим разность

$\left|\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\le <!--\; \le \; -->\left|\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->X}^{X}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|{\int <!--\; \int \; -->}_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)\right|+\left|{\int <!--\; \int \; -->}_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\le <!--\; \le \; -->$$\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq$ 

$\le <!--\; \le \; -->\left|\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->X}^{X}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\mathsf{M}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+\frac{\mathsf{M}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{2}.$$\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.$ 

На основании $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)=\int _{a}^{b}g\left(x\right)dF\left(x\right)$  заключаем, что правая часть

$\left|\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\le <!--\; \le \; -->\left|\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->X}^{X}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|{\int <!--\; \int \; -->}_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)\right|+\left|{\int <!--\; \int \; -->}_{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\le <!--\; \le \; -->$$\left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-\infty }^{\infty }g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)\right|+\left|\int _{\left|x\right|>X}^{}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|\leq$ 

$\le <!--\; \le \; -->\left|\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->X}^{X}g\left(x\right)d{F}_n\left(x\right)-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+\mathsf{M}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}+\frac{\mathsf{M}\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{2}.$$\leq \left|\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF_{n}\left(x\right)-\int _{-X}^{X}g\left(x\right)dF\left(x\right)\right|+{\mathsf {M}}\varepsilon +{\frac {{\mathsf {M}}\varepsilon }{2}}.$ 

может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.

См. такжеПравить

• Прямая и обратная предельная теорема

ЛитератураПравить

• Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 254 с.