Прямая и обратная предельная теорема

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно.

Прямая и обратная предельная теоремаПравить

Прямая предельная теоремаПравить

Если последовательность функций распределения $F_n$$F_{n}$  слабо сходится к функции распределения $F$$F$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow\infty$ , то последовательность соответствующих характеристических функций $\left\{f_n\right\}$$\left\{f_{n}\right\}$  сходится поточечно к характеристической функции $f$$f$ .

Иными словами

Если $F_n\left(x\right)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F\left(x\right)$$F_{n}\left(x\right)\Rightarrow F\left(x\right)$ , то $f_n\left(t\right)\to <!--\; \to \; -->f\left(t\right)$$f_{n}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right)$  в каждой точке $t$$t$ .

Обратная предельная теоремаПравить

Пусть последовательность характеристических функций $\left\{f_n\right\}$$\left\{f_{n}\right\}$  сходится поточечно к функции $f$$f$ , непрерывной в точке 0. Тогда последовательность соответствующих функций распределения $F_n$$F_{n}$  слабо сходится к функции $F$$F$  и $f$$f$  является характеристической функцией, соответствующей функции распределения $F$$F$ .

Доказательство прямой предельной теоремыПравить

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из второй теоремы Хелли и определения характеристической функции:

В качестве функции $g$$g$  возьмем $g\left(x\right)=e^{itx},x\in <!--\; \in \; -->R$$g\left(x\right)=e^{itx},x\in R$ , а на $i$$i$  и $t$$t$  смотрим как на параметры.

ЗамечаниеПравить

Поточечную сходимость последовательности характеристических функций в этой теореме можно заменить равномерной сходимостью на любом компакте из $R$$R$ .

Доказательство обратной предельной теоремыПравить

Пусть $F_n$$F_{n}$  — последовательность функций распределения соответствующих последовательности характеристических функций $f_n$$f_{{n}}$ . Из первой теоремы Хелли следует, что существует слабо сходящаяся подпоследовательность

$\left\{F_{n_k}\right\}\subset <!--\; \subset \; -->\left\{F_n\right\},$$\left\{F_{n_{k}}\right\}\subset \left\{{F_{n}}\right\},$  такая что $F_{n_k}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F$$F_{n_{k}}\Rightarrow F$ 

Докажем, что $F$$F$  является функцией распределения. Для этого достаточно показать, что $F\left(+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)-<!--\; -\; -->F\left(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=1$$F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$ 

Для доказательства понадобится следующее неравенство: пусть $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  произвольная случайная величина, $f$$f$  — её характеристическая функция, тогда для любых $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}>0$$\tau >0$  и $x>0$$x>0$ 

$P\left(\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|\le <!--\; \le \; -->x\right)\ge <!--\; \ge \; -->\frac{\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}f\left(t\right)dt\right|-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}x}}{1-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}x}}$$P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$ 

Положим $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}x=2$$\tau x=2$ , тогда неравенство примет вид

$P\left(\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|\le <!--\; \le \; -->x\right)\ge <!--\; \ge \; -->\frac{\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}f\left(t\right)dt\right|-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}{1-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}=2\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}f\left(t\right)dt\right|-<!--\; -\; -->1$$P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{2}}}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-1$ 

Докажем неравенство $P\left(\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|\le <!--\; \le \; -->x\right)\ge <!--\; \ge \; -->\frac{\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}f\left(t\right)dt\right|-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}x}}{1-<!--\; -\; -->\frac{1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}x}}$$P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\geq {\frac {\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|-{\frac {1}{\tau x}}}{1-{\frac {1}{\tau x}}}}$ . Из определения характеристической функции и теоремы Фубини следует

$\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}f\left(t\right)dt\right|=\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathsf{M}{e}^{it\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}dt\right|=\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathsf{M}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{e}^{it\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}dt\right|=\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathsf{M}\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right|=$$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }{\mathsf {M}}e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}{\mathsf {M}}\int _{-\tau }^{\tau }e^{it\xi }dt\right|=\left|{\frac {1}{2\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|=$ 

$=\left|\frac{1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathsf{M}\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right|I_{\left\{\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|\le <!--\; \le \; -->x\right\}}+\left|\frac{1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\mathsf{M}\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right|I_{\left\{\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|>x\right\}}\le <!--\; \le \; -->\mathsf{M}\left|\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right|I_{\left\{\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|\le <!--\; \le \; -->x\right\}}+\mathsf{M}\left|\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}\right|I_{\left\{\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|>x\right\}}\le <!--\; \le \; -->P\left(\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|\le <!--\; \le \; -->x\right)+\frac{1}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}x}\left(1-<!--\; -\; -->P\left(\left|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\right|\le <!--\; \le \; -->x\right)\right)$$=\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+\left|{\frac {1}{\tau }}{\mathsf {M}}{\frac {\sin {\tau \xi }}{\xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq {\mathsf {M}}\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|\leq x\right\}}+{\mathsf {M}}\left|{\frac {\sin {\tau \xi }}{\tau \xi }}\right|I_{\left\{\left|\xi \right|>x\right\}}\leq P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)+{\frac {1}{\tau x}}\left(1-P\left(\left|\xi \right|\leq x\right)\right)$ 

Так как функция $f$$f$  непрерывна в точке $0$$0$  и является поточечным пределом характеристических функций $\left\{f_n\right\}$$\left\{f_{n}\right\}$ , то $f\left(0\right)=1$$f\left(0\right)=1$  и для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует такое ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0>0$$\tau _{0}>0$ , что для всех $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  удовлетворяющих неравенству $0<\tau \leq \tau _{0},$  выполнено

$\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}f\left(t\right)dt\right|>1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{4}$$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{4}}$ 

Из того, что $f_n\to <!--\; \to \; -->f$$f_{n}\rightarrow f$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow\infty$  вытекает для всех $n>n_0$$n>n_{0}$  и для $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->(0;{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_0],$$\tau \in (0;\tau _{0}],$ 

$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$ 

Из неравенств $\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}f\left(t\right)dt\right|>1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{4}$$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{4}}$  и $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$  следует, что для любых $n>n_0$$n>n_{0}$  и $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ , таких что $0<\tau \leq \tau _{0}$ 

$\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{f}_n\left(t\right)dt\right|>1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{2}$$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{2}}$ 

Из неравенств $\left|\frac{1}{2\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{f}_n\left(t\right)dt\right|>1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{2}$$\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt\right|>1-{\frac {\varepsilon }{2}}$  и $\left|{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f_{n}\left(t\right)dt-{\frac {1}{2\tau }}\int _{-\tau }^{\tau }f\left(t\right)dt\right|<{\frac {\varepsilon }{4}}$  имеем

$F_{n_k}\left(\frac{2}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}\right)-<!--\; -\; -->F{n}_k\left(-<!--\; -\; -->\frac{2}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}-<!--\; -\; -->0\right)\ge <!--\; \ge \; -->P\left(\left|{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{n_k}\right|\le <!--\; \le \; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2}\right)\ge <!--\; \ge \; -->2\left(1-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{2}\right)-<!--\; -\; -->1=1-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$F_{n_{k}}\left({\frac {2}{\tau }}\right)-F{n_{k}}\left(-{\frac {2}{\tau }}-0\right)\geq P\left(\left|\varepsilon _{n_{k}}\right|\leq {\frac {\tau }{2}}\right)\geq 2\left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)-1=1-\varepsilon$ ,

для всех $n>n_0$$n>n_{0}$  и $0<\tau \leq \tau _{0}$ . Из последнего неравенства в силу произвольности $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  и $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$  получаем

$F\left(+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)-<!--\; -\; -->F\left(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\right)=1$$F\left(+\infty \right)-F\left(-\infty \right)=1$ 

то есть $F$$F$  — функция распределения. По прямой предельной теореме из доказанного следует

$f_{n_k}\left(t\right)\underset{n_k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\to <!--\; \to \; -->}{\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{itx}dF\left(x\right),t\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$f_{n_{k}}\left(t\right){\underset {n_{k}\rightarrow \infty }{\rightarrow }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right),t\in \mathbb {R}$ 

Но по условию теоремы

$f_n\left(t\right)\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\to <!--\; \to \; -->}f\left(t\right),t\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right),t\in \mathbb {R}$ 

Следовательно

$f\left(t\right)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{e}^{itx}dF\left(x\right)$$f\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF\left(x\right)$  — характеристическая функция, соответствующая функции распределения $F$$F$ 

Докажем теперь, что

$F_n\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->}F$$F_{n}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Rightarrow }}F$ 

Предположим противное, пусть

$F_n\nRightarrow <!--\; \nRightarrow \; -->F$$F_{n}\nRightarrow F$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow\infty$ . Тогда существует $\left\{F_{m_k}\right\}\subset <!--\; \subset \; -->\left\{F_n\right\},F_{m_k}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->F^{\ast <!--\; \ast \; -->},F^{\ast <!--\; \ast \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->F$$\left\{F_{m_{k}}\right\}\subset \left\{F_{n}\right\},F_{m_{k}}\Rightarrow F^{*},F^{*}\neq F$ , причем $F$$F$  и $F^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$F^{*}$  — функции распределения

По прямой предельной теореме имеем

$f_{n_k}\left(t\right)\to <!--\; \to \; -->f\left(t\right),f_{m_k}\left(t\right)\to <!--\; \to \; -->f^{\ast <!--\; \ast \; -->}\left(t\right),k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$f_{n_{k}}\left(t\right)\rightarrow f\left(t\right),f_{m_{k}}\left(t\right)\rightarrow f^{*}\left(t\right),k\rightarrow \infty$ 

и по теореме единственности $f\left(t\right)\ne <!--\; \ne \; -->f^{\ast <!--\; \ast \; -->}\left(t\right)$$f\left(t\right)\neq f^{*}\left(t\right)$ , но этого не может быть, так как

$f_n\left(t\right)\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\to <!--\; \to \; -->}f\left(t\right)$$f_{n}\left(t\right){\underset {n\rightarrow \infty }{\rightarrow }}f\left(t\right)$ ,

Следовательно

$f\left(t\right)=f^{\ast <!--\; \ast \; -->}\left(t\right)$$f\left(t\right)=f^{*}\left(t\right)$ 

Теорема доказана.

ЛитератураПравить

• Лазакович Н.В., Сташуленок С.П., Яблонский О.Л. Курс теории вероятностей. — 2003. — 322 с.
• Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 244 с.

См. такжеПравить

• Первая и вторая теоремы Хелли
• Теорема Леви о непрерывности