Оценки Шаудера

Оценки Шаудера — оценки на норму Гёльдера решений решений линейных равномерно эллиптических уравнений в частных производных.

Получены Юлиушем Шаудером. Эти оценки используются в доказательстве методом непрерывности^[en] существования и регулярности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в частных производных.

ОбозначенияПравить

Пусть $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$  Суп-норма непрерывной функции $f\in <!--\; \in \; -->C(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$f\in C(\Omega )$  определяется как

$|f{|}_{0;\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=\underset{x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{sup}|f(x)|$$|f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|$ 

Для функции, непрерывной по Гёльдеру с показателем $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , то есть $f\in <!--\; \in \; -->C^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$f\in C^{\alpha }(\Omega )$  обычная полунорма Гёльдера определяется как

$[f{]}_{0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=\underset{x,y\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{sup}\frac{|f(x)-<!--\; -\; -->f(y)|}{|x-<!--\; -\; -->y{|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}.$$[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$ 

Сумма двух является полной нормой Гёльдера функции $f$$f$ 

$|f{|}_{0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=|f{|}_{0;\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}+[f{]}_{0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=\underset{x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{sup}|f(x)|+\underset{x,y\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{sup}\frac{|f(x)-<!--\; -\; -->f(y)|}{|x-<!--\; -\; -->y{|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}.$$|f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$ 

Для дифференцируемых функций u необходимо учитывать нормы высших порядков, включая производные. Норма в пространстве функций с k непрерывными производными, $C^k(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$C^{k}(\Omega )$  определяется как

$|u{|}_{k;\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=\underset{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|\le <!--\; \le \; -->k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{sup}|D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(x)|,$$|u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|,$ 

где $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=(i_1,\dots <!--\; \dots \; -->,i_n)$$\beta =(i_{1},\dots ,i_{n})$  обозначает мультииндекс, а $|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|=i_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+i_n$$|\beta |=i_{1}+\dots +i_{n}$ .

Для функций с производными k-го порядка, непрерывных по Гёльдеру с показателем $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , соответствующая полунорма определяется как

$[u{]}_{k,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=\underset{\stackrel{x,y\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|=k}}{sup}\frac{|D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(x)-<!--\; -\; -->D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(y)|}{|x-<!--\; -\; -->y{|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$$[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}$ 

что дает полную норму

$|u{|}_{k,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}+[u{]}_{k,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}=\underset{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|\le <!--\; \le \; -->k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{sup}|D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(x)|+\underset{\stackrel{x,y\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|=k}}{sup}\frac{|D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(x)-<!--\; -\; -->D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(y)|}{|x-<!--\; -\; -->y{|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}.$$|u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$ 

Для внутренних оценок нормы берутся с весами по расстоянию до границы.

$d_x=d(x,\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$d_{x}=d(x,\partial \Omega )$ 

в той же степени, что и производная, а полунормы берутся с весом

$d_{x,y}=min(d_x,d_y)$$d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})$ 

возведённым в соответствующую степень. Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением

$|u{|}_{k,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}+[u{]}_{k,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|\le <!--\; \le \; -->k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{sup}|d_x^{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|}{D}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(x)|+\underset{\stackrel{x,y\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|=k}}{sup}{d}_{x,y}^{k+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\frac{|D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(x)-<!--\; -\; -->D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(y)|}{|x-<!--\; -\; -->y{|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}.$$|u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$ 

Ещё требуется норма с добавочной степенью при весах:

$|u{|}_{k,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{(m)}=|u{|}_{k;\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{(m)}+[u{]}_{k,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{(m)}=\underset{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|\le <!--\; \le \; -->k}{\sum <!--\; \sum \; -->}\underset{x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{sup}|d_x^{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|+m}{D}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(x)|+\underset{\stackrel{x,y\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{|\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|=k}}{sup}{d}_{x,y}^{m+k+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\frac{|D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(x)-<!--\; -\; -->D^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}u(y)|}{|x-<!--\; -\; -->y{|}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}.$$|u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$ 

ФормулировкаПравить

Внутренняя оценкаПравить

Рассмотрим ограниченное решение $u\in <!--\; \in \; -->C^{2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$u\in C^{2,\alpha }(\Omega )$  в области $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка

$\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{i,j}(x)D_i{D}_{j}u(x)+\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{b}_i(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)$$\sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)$ 

где исходный член удовлетворяет $f\in <!--\; \in \; -->C^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})$$f\in C^{\alpha }(\Omega )$ . Предположим, что уравнение строго эллиптично, то есть существует постоянная $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>0$$\lambda >0$  такая что

$\sum <!--\; \sum \; -->a_{i,j}(x){\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_j\ge <!--\; \ge \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}{|}^2$$\sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}$  для всех $x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n,$$x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n},$ 

а все соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой $\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}$$\Lambda$ 

$|a_{i,j}{|}_{0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}},|b_i{|}_{0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{(1)},|c{|}_{0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{(2)}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}.$$|a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .$ 

Тогда взвешенную $C^{2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$C^{2,\alpha }$ -норму u можно оценить через суп-нормой u и норму Гёльдера f:

$|u{|}_{2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\le <!--\; \le \; -->C(n,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->})(|u{|}_{0,\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}+|f{|}_{0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{(2)}).$$|u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).$ 

Граничные оценкиПравить

Пусть $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  есть $C^{2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$C^{2,\alpha }$ -гладкая область (то есть около любой точки на границе области граничная поверхность может быть реализована после соответствующего поворота координат как график $C^{2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$C^{2,\alpha }$  функции), с граничными данными Дирихле, совпадающими с функцией $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(x)$$\phi(x)$  что также по крайней мере $C^{2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$C^{2,\alpha }$ . Затем с учетом тех же условий на коэффициенты, что и в случае внутренней оценки, невзвешенная норма Гёльдера для u управляется невзвешенными нормами исходного члена, граничных данных и супремум-нормы u:

$|u{|}_{2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}\le <!--\; \le \; -->C(n,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->},\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})(|u{|}_{0,\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}+|f{|}_{0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}+|\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{|}_{2,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->};\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}).$$|u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).$ 

При этом, если решение u удовлетворяет принципу максимума, то первый член в правой части можно опустить.

ЛитератураПравить

• Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (in German), Berlin, Germany: Springer-Verlag, 38 (1), pp. 257–282, doi:10.1007/BF01170635 MR1545448

• Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF), Studia Mathematica (in German), Lwów, Poland: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, 5, pp. 34–42

• Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics, 2 (1st English ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4

• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Elliptic Partial Differential Equations, New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, ISBN 0-9658703-0-8, OCLC 38168365 MR1669352