Отображение тент

Отображение тент в теории динамических систем задаётся следующим образом: $f_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}min\{x,1-<!--\; -\; -->x\}$$f_{\mu}=\mu \min\{x,1-x\}$

Для значений $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0;2]$$\mu\in[0;2]$ отображение тент переводит отрезок $[0;1]$$[0;1]$ в себя, являясь динамической системой c дискретным временем. В частности, орбитой точки $x_0$$x_0$ из интервала $[0;1]$$[0;1]$ является последовательность $x_n$$x_{n}$ :

График общего случая отображения тент

График случая $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=2$$\mu=2$ для 1, 2 и 3 итераций отображения тент

$x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n},&x_{n}<{\frac {1}{2}},\\\\\mu (1-x_{n}),&{\frac {1}{2}}\leq x_{n}.\end{cases}}$

Несмотря на то, что отображение тент является довольно простой нелинейной динамической системой, оно демонстрирует ряд свойств, характерных и для более сложных систем: плотность периодических орбит, перемешивание, чувствительность к начальным условиям, т.е. хаотичность.

Свойства править

 

Орбиты отображения для $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=2$$\mu=2$ 

 

Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=0.75$$\mu=0.75$ 

• Если $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\in <!--\; \in \; -->[0;1)$$\mu\in[0;1)$ , $x=0$$x=0$  является притягивающей неподвижной точкой: система будет стремиться к нулю с устремлением времени в бесконечность при любом исходном значении $x$$x$  из отрезка $[0;1]$$[0;1]$ .
• Если $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1$$\mu =1$ , все $x\in <!--\; \in \; -->[0;0.5]$$x\in[0;0.5]$  — неподвижные точки, а $x\in <!--\; \in \; -->(0.5;1]$$x\in(0.5;1]$  — предпериодические точки единичного периода (после одной итерации переходят в неподвижные).
• Если $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\in <!--\; \in \; -->(1;2]$$\mu\in(1;2]$ , то отображение имеет две неподвижные точки: $x=0$$x=0$  и $x=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{1+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$$x={\frac {\mu }{1+\mu }}$ . Причем обе из них будут неустойчивыми, то есть значения $x$$x$ , лежащие в окрестностях неподвижных точек, будут отдаляться от них с последующими итерациями. Более того, для таких значений $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , в интервале $x\in <!--\; \in \; -->[\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2/2;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2]$$x\in [\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$  содержатся и периодические, и непериодические точки.
• Если $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\in <!--\; \in \; -->(1;\sqrt{2}]$$\mu\in(1;\sqrt2]$ , то система отображает множество интервалов из отрезка $[\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2/2;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2]$$[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$  в себя, и их объединение является множеством Жюлиа отображения тент, т.е. множеством точек, чьи орбиты неустойчивы.
  • увеличение показывает, что при μ ≈ 1, множество Жюлиа состоит из нескольких интервалов. На диаграммах видно 4 и 8 интервалов при достаточном увеличении.

•  

  Бифуркационная диаграмма отображения тент. Более высокая плотность соответствует более высокой вероятности, что переменная x примет данное значение для параметра $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ 

•  

  При увеличении вблизи острия видно 4 интервала

•  

  При дальнейшем увеличении видно 8 интервалов

 

Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для $\mu=1.2 ( \mu<\sqrt2)$ 

• Если $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\in <!--\; \in \; -->(\sqrt{2};2]$$\mu\in(\sqrt2;2]$ , то интервалы из отрезка $[\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2/2;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2]$$[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$  сходятся и множество Жюлиа — это весь интервал $[\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}^2/2;\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2]$$[\mu-{\mu^2}/2;{\mu}/2 ]$  (см. бифуркационную диаграмму).

 

Графики 1,2,3,4,5,6 итераций отображения тент для $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=1.8(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}>\sqrt{2})$$\mu=1.8 ( \mu>\sqrt2)$ 

• Если $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=2$$\mu=2$ , то система переводит отрезок [0;1] в себя. В этом случае периодические точки плотны на отрезке, так что отображение демонстрирует хаотичность. Непериодическое поведение характерно только для иррациональных чисел, что может быть показано с помощью механизма, которым отображение действует на представленное в двоичной записи число: оно перемещает двоичную запятую вправо на один знак, а затем, если то, что оказалось слева от запятой — это единица, отбрасывает её и обращает все единицы в нули и наоборот (кроме последней единицы для чисел с конечной двоичной записью). Для иррационального числа, двоичная запись которого непериодична, это бесконечный процесс. Кроме того, стоит обратить внимание, что для $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=2$$\mu=2$  отображение тент топологически сопряжено логистическому отображению для $r=4$$r=4$  и полусопряжен $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=2$$\mu=2$  отображению удвоения, что указывает на сходство динамических свойств этих отображений. Действительно, пусть $x_n$$x_{n}$  — орбита отображения тент при $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=2$$\mu=2$ , а $y_n$$y_{n}$  — орбита логистического отображения для $r=4$$r=4$ , тогда они связаны соотношением: $x_n=\frac{2}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{\sin }^{-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->(y_n^{1/2}).$$x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).$ .
• Если $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\in <!--\; \in \; -->(2;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$\mu\in(2;+\infty)$ , множество Жюлиа отображения все еще содержит бесконечное количество и периодических, и непериодических точек, но почти всюду точки отрезка $[0;1]$$[0;1]$  стремятся к бесконечности. Само множество становится канторовым. В частности, множество Жюлиа отображения тент для $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=3$$\mu=3$  — стандартное канторово множество.

Асимметричное отображение тент править

Также объектом изучения теории динамических систем является асимметричное отображение тент $f_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}:[0;1]\to <!--\; \to \; -->[0;1],\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->(1;+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$f_\alpha: [0;1] \rightarrow [0;1], \alpha \in (1; +\infty)$ . Его можно считать расширением случая $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=2$$\mu=2$  стандартного отображения тент:

$x_{n+1}=f_\alpha(x_n)=\begin{cases} \alpha x_n & \mathrm{for}~~ 0 \le x_n < \frac{1}{\alpha} \\ \\ \frac{\alpha}{\alpha-1} (1-x_n) & \mathrm{for}~~ \frac{1}{\alpha} \le x_n \le 1 \end{cases}$ 

Асимметричное отображение тент сохраняет вид кусочно-линейной функции и может быть использовано для представления вещественных чисел из $[0;1]$$[0;1]$  по аналогии с десятичной записью.

См. также править

• Функция (математика)
• Отображение удвоения
• Логистическое отображение
• Динамическая система
• Порядок Шарковского
• Постоянная Фейгенбаума
• Аттрактор