Перемешивание (динамические системы)

В теории динамических систем, перемешивание — свойство системы «забывать» информацию о начальном условии с течением времени. Более точно, различают топологическое и метрическое перемешивание. Первое относится к теории непрерывных систем и, грубо говоря, утверждает, что сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное её местонахождение становится всё более и более плотным множеством. Второе относится к теории измеримых систем — систем, сохраняющих некоторую меру $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ — и утверждает, что распределение абсолютно непрерывной относительно $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ меры (например, ограничения $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ на заданное подмножество начальных условий) при итерациях стремится к самой мере $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$.

Пусть $G$$G$ - аттрактор хаотической системы, на которой заданы оператор эволюции системы $S(G)$$S(G)$ и инвариантная мера $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$. Сегментируем аттрактор на 2 области, $B$$B$ и $W.$$W.$ Отношение меры точек из области $B$$B$, которые через $n$$n$ итераций оператора эволюции $S$$S$ попали в область $W,$$W,$ можно записать следующим образом:

$D_n=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(S^n(B)\cap <!--\; \cap \; -->W)}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(W)}.$$D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)}}.$

Оператор эволюции $S$$S$ является перемешиванием, если при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow \infty$ значение $D_n$$D_{n}$ не зависит от выбора области $W,$$W,$ а определяется отношением $\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(S^n(B)\cap <!--\; \cap \; -->W)}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(W)}\to <!--\; \to \; -->\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(B)}{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(G)}$${\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)}}\rightarrow {\frac {\mu (B)}{\mu (G)}}$ при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow \infty$. Эта формула, с физической точки зрения, описывает размывание любой области начальных условий $B$$B$ по всем аттрактору $G$$G$. В пределе, $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow \infty$, мера образов точек множества $B$$B$ во множестве $W$$W$ равна мере множества $B$$B$ на аттракторе $G$$G$ для произвольных множеств $B$$B$ и $W.$$W.$

Перемешивание цветного пластилина в шарике, подвергающемся последовательным отображениям Подковы Смейла

ОпределенияПравить

Топологическое перемешиваниеПравить

По определению, (непрерывная) динамическая система $f:X\to <!--\; \to \; -->X$$f:X\to X$  называется топологически перемешивающей, если для любых двух непустых открытых множеств $A,B\subset <!--\; \subset \; -->X$$A,B\subset X$  выполнено

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N:\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\ge <!--\; \ge \; -->N{f}^n(A)\cap <!--\; \cap \; -->B\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->},$$\exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,$ 

или, что то же самое,

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}N:\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\ge <!--\; \ge \; -->NA\cap <!--\; \cap \; -->f^{-<!--\; -\; -->n}(B)\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->},$$\exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,$ 

Это, в частности, означает, что для любых заданных $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  и непустого открытого множества $A$$A$  все итерации $A$$A$  с достаточно большим номером оказываются $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\varepsilon$ -плотны в фазовом пространстве.

Топологическое перемешивание является более сильным, чем транзитивность, свойством. Так, иррациональный поворот окружности транзитивен, но не перемешивает.

Метрическое перемешиваниеПравить

По определению, сохраняющее меру измеримое отображение $f:(X,\mathcal{A},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})\to <!--\; \to \; -->(X,\mathcal{A},\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$f:(X,{\mathcal {A}},\mu )\to (X,{\mathcal {A}},\mu )$  называется метрически перемешивающим, если для любых двух измеримых множеств $A,B\in <!--\; \in \; -->\mathcal{A}$$A,B\in {\mathcal {A}}$  выполнено

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(f^{-<!--\; -\; -->n}(A)\cap <!--\; \cap \; -->B)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(A)\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(B),n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}.$$\mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .$ 

В терминах интегрируемых функций, это равносильно тому, что для любых двух функций $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->},\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\in <!--\; \in \; -->L_2(X,\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})$$\varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )$  выполнено

${\int <!--\; \int \; -->}_X\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(f^n(x))\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(x)\to <!--\; \to \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_X\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_X\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}d\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}.$$\int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \cdot \int _{X}\psi \,d\mu .$ 

Эргодичность меры $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$  является необходимым, но не достаточным условием метрического перемешивания. Так, иррациональный поворот окружности сохраняет эргодическую для него меру Лебега, но не является метрически перемешивающим.

См. такжеПравить

• Транзитивность (динамические системы)
• Спектральная теория динамических систем

ЛитератураПравить

• Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
• Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.