Прямоугольная система координат

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует её широкому применению.

Связанные термины: декартовой обычно называют прямоугольную систему координат с одинаковыми масштабами по осям (названной так по имени Рене Декарта), а общей декартовой системой координат называют аффинную систему координат (не обязательно прямоугольную).

ИсторияПравить

Впервые прямоугольную систему координат ввёл Рене Декарт в своей работе «Геометрия» в 1637 году. Он широко применял координаты к исследованию многих геометрических вопросов. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат (хотя современный термин не во всех деталях соответствует тому, что использовал сам Декарт). Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Французский священнослужитель Николай Орем использовал конструкции, подобные декартовым координатам, задолго до времён Декарта и Ферма.

Развитие системы декартовых координат будет играть основную роль в развитии исчисления Исааком Ньютоном и Лейбницем. Двухкоординатное описание плоскости позднее было обобщено в понятие векторных пространств.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке. Использование ортов восходит, по-видимому, к Гамильтону и Максвеллу.

Прямоугольная система координат на плоскостиПравить

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат $X^{\prime }X$$X'X$  и $Y^{\prime }Y$$Y'Y$ . Оси координат пересекаются в точке $O$$O$ , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.

 

Рис. 1

Положение точки $A$$A$  на плоскости определяется двумя координатами $x$$x$  и $y$$y$ . Координата $x$$x$  равна длине отрезка $OB$$OB$ , координата $y$$y$  — длине отрезка $OC$$OC$  в выбранных единицах измерения. Отрезки $OB$$OB$  и $OC$$OC$  определяются линиями, проведёнными из точки $A$$A$  параллельно осям $Y^{\prime }Y$$Y'Y$  и $X^{\prime }X$$X'X$  соответственно.

При этом координате $x$$x$  приписывается знак минус, если точка $B$$B$  лежит на луче $O{X}^{\prime }$$OX'$  (а не на луче $OX$$OX$ , как на рисунке). Координате $y$$y$  приписывается знак минус, если точка $C$$C$  лежит на луче $O{Y}^{\prime }$$OY'$ . Таким образом,$O{X}^{\prime }$$OX'$  и $O{Y}^{\prime }$$OY'$  являются отрицательными направлениями осей координат (каждая ось координат рассматривается как числовая ось).

Ось $X^{\prime }X$$X'X$  называется осью абсцисс (лат. abscissus — букв. «отрезанный, отделённый»), а ось $Y^{\prime }Y$$Y'Y$  — осью ординат (лат. ordinatus — букв. «упорядоченный, установленный в определённом порядке»). Координата $x$$x$  называется абсцисса точки $A$$A$ , координата $y$$y$  — ордината точки $A$$A$ .

Символически это записывают так:

$A(x,y)$$A(x,\;y)$ 

или

$A=(x,y)$$A = (x,\;y)$ 

или указывают принадлежность координат конкретной точке с помощью индекса:

$x_A,x_B$$x_A, x_B$ 

и т. д.

• В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси $Y^{\prime }Y$$Y'Y$  вверх, ось $X^{\prime }X$$X'X$  смотрела направо. Обычно принято пользоваться правосторонними системами координат (если обратное не оговорено или не очевидно — например, из чертежа; иногда по каким-то соображениям бывает удобнее всё же пользоваться левосторонней системой координат).
• Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат $X^{\prime }X$$X'X$  и $Y^{\prime }Y$$Y'Y$ , называются координатными углами, четвертями или квадрантами <плоскости> (см. рис. 1).
  • Точки внутри координатного угла I имеют положительные абсциссы и ординаты.
  • Точки внутри координатного угла II имеют отрицательные абсциссы и положительные ординаты.
  • Точки внутри координатного угла III имеют отрицательные абсциссы и ординаты
  • Точки внутри координатного угла IV имеют положительные абсциссы и отрицательные ординаты.

Прямоугольная система координат в пространствеПравить

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трёхмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат $OX$$OX$ , $OY$$OY$  и $OZ$$OZ$ . Оси координат пересекаются в точке $O$$O$ , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. $OX$$OX$  — ось абсцисс, $OY$$OY$  — ось ординат, $OZ$$OZ$  — ось аппликат.

 

Рис. 2

Положение точки $A$$A$  в пространстве определяется тремя координатами $x$$x$ , $y$$y$  и $z$$z$ . Координата $x$$x$  равна длине отрезка $OB$$OB$ , координата $y$$y$  — длине отрезка $OC$$OC$ , координата $z$$z$  — длине отрезка $OD$$OD$  в выбранных единицах измерения. Отрезки $OB$$OB$ , $OC$$OC$  и $OD$$OD$  определяются плоскостями, проведёнными из точки $A$$A$  параллельно плоскостям $YOZ$$YOZ$ , $XOZ$$XOZ$  и $XOY$$XOY$  соответственно.

Координата $x$$x$  называется абсциссой точки $A$$A$ ,

координата $y$$y$  — ординатой точки $A$$A$ ,

координата $z$$z$  — аппликата (лат. applicata — прилегающая) точки $A$$A$ .

Символически это записывают так:

$A(x,y,z)$$A(x,\;y,\;z)$ 

или

$A=(x,y,z)$$A = (x,\;y,\;z)$ 

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

$x_A,y_A,z_A$$x_A,\;y_A,\;z_A$ 

и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, то есть имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка $B$$B$  лежала не как на рисунке — на луче $OX$$OX$ , а на его продолжении в обратную сторону от точки $O$$O$  (на отрицательной части оси $OX$$OX$ ), то абсцисса $x$$x$  точки $A$$A$  была бы отрицательной (минус расстоянию $OB$$OB$ ). Аналогично и для двух других осей.

Все прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении ещё и располагают их, если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат, можно, используя правило правой руки, правило винта и т. п. (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси $OX$$OX$  против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси $OY$$OY$ , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси $OZ$$OZ$ ).

Любая из восьми областей, на которые пространство делится тремя взаимно перпендикулярными координатными плоскостями, называется октантом.

Прямоугольная система координат в многомерном пространствеПравить

Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно размерности пространства (в этом параграфе будем обозначать её $n$$n$ ).

Для обозначения координат обычно применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это:

$x_1,x_2,x_3,\dots <!--\; \dots \; -->x_n.$$x_1, x_2, x_3,\dots x_n.$ 

Для обозначения произвольной $i$$i$ -й координаты из этого набора используют буквенный индекс:

$x_i,$$x_{i},$ 

а нередко обозначение $x_i,$$x_{i},$  используют и для обозначения всего набора, подразумевая, что индекс пробегает весь набор значений: $i=1,2,3,\dots <!--\; \dots \; -->n$$i = 1, 2, 3, \dots n$ .

В любой размерности пространства прямоугольные координатные системы делятся на два класса, правые и левые (или положительные и отрицательные). Для многомерных пространств какую-то одну из координатных систем произвольно (условно) называют правой, а остальные оказываются правыми или левыми в зависимости от того, той же они ориентации или нет.

Обобщение понятий двумерного квадранта и трёхмерного октанта для $n$$n$ -мерного евклидова пространства — ортант или гипероктант.

Прямоугольные координаты вектораПравить

 

Рис. 1

Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца.

• Таким образом, например, координаты $(x,y)$$(x,y)$  на рис.1 являются координатами вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{OA}$$\vec{OA}$ .

Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:

1. Вектор можно перенести так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесённого так, что его начало совпадает с началом координат, — это координаты его конца.
2. Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.

• Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием ортогональной проекции вектора на направление соответствующей координатной оси.

В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:

• Сложение и умножение на скаляр:

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n+b_n)$$\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n)$ 

или

$(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}_i=a_i+b_i,$$(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,$ 

$c\mathbf{a}=(c{a}_1,c{a}_2,c{a}_3,\dots <!--\; \dots \; -->,c{a}_n)$$c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n)$ 

или

$(c\mathbf{a}{)}_i=c{a}_i.$$(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.$ 

а отсюда и вычитание и деление на скаляр:

$\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{b}=(a_1-<!--\; -\; -->b_1,a_2-<!--\; -\; -->b_2,a_3-<!--\; -\; -->b_3,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n-<!--\; -\; -->b_n)$$\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n)$ 

или

$(\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{b}{)}_i=a_i-<!--\; -\; -->b_i,$$(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,$ 

$\frac{\mathbf{a}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=(\frac{a_1}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},\frac{a_2}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},\frac{a_3}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{a_n}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}})$$\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac{a_n}{\lambda}\Big)$ 

или

$(\frac{\mathbf{a}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}{)}_i=\frac{a_i}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}.$$\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.$ 

(Это верно для любой размерности n и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).

• Скалярное произведение:

$\mathbf{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{b}_n$$\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n$ 

или

$\mathbf{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{b}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{b}_i,$$\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,$ 

(Только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).

• Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора

$|\mathbf{a}|=\sqrt{\mathbf{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{a}}$$|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}$ 

и угол между векторами

$\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}(\mathbf{a},\mathbf{b})=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mathbf{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\cdot <!--\; \cdot \; -->|\mathbf{b}|}$$\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} = \mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}$ 

• Внешнее произведение:

$(\mathbf{a}\wedge <!--\; \wedge \; -->\mathbf{b}{)}_{ij}=a_i{b}_j-<!--\; -\; -->a_j{b}_i$$(\mathbf a \and \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i$ 

для любой размерности пространства,

• Векторное произведение (только для трехмерного же пространства, на котором оно и определено):

$(\mathbf{a}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{b}{)}_x=a_y{b}_z-<!--\; -\; -->a_z{b}_y$$(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y$ 

$(\mathbf{a}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{b}{)}_y=a_z{b}_x-<!--\; -\; -->a_x{b}_z$$(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z$ 

$(\mathbf{a}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{b}{)}_z=a_x{b}_y-<!--\; -\; -->a_y{b}_x$$(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x$ 

Очевидно, всё это позволяет, если надо, свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.

ОртыПравить

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов (единичных векторов), сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу. Такие орты составляют базис, притом ортонормированный.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются

$\mathbf{i}$$\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$$\mathbf {j}$  и $\mathbf{k}$$\mathbf {k}$ 

или

${\mathbf{e}}_x$$\mathbf{e}_x$ , ${\mathbf{e}}_y$$\mathbf{e}_y$  и ${\mathbf{e}}_z$$\mathbf{e}_z$ .

Могут также применяться обозначения со стрелками ($\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{i}$$\vec{i}$ , $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}$$\vec{j}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{k}$$\vec{k}$  или ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_x$$\vec{e}_x$ , ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_y$$\vec{e}_y$  и ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{e}}_z$$\vec{e}_z$ ) или другие в соответствии с обычным способом обозначения векторов в той или иной литературе.

При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

• $[\mathbf{i},\mathbf{j}]=\mathbf{k};$$[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};$ 
• $[\mathbf{j},\mathbf{k}]=\mathbf{i};$$[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};$ 
• $[\mathbf{k},\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$$[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.$ 

Для более высоких, чем 3, размерностей (или для общего случая, когда размерность может быть любой) обычно для ортов применяют вместо этого обозначения с числовыми индексами, достаточно часто это

${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3,\dots <!--\; \dots \; -->{\mathbf{e}}_n,$$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\dots \mathbf{e}_n,$ 

где n — размерность пространства.

Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):

$\mathbf{a}=a_1{\mathbf{e}}_1+a_2{\mathbf{e}}_2+a_3{\mathbf{e}}_3+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{\mathbf{e}}_n$$\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n$ 

или

$\mathbf{a}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{\mathbf{e}}_i,$$\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,$ 

а для ортонормированного базиса координаты ещё и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:

$a_i=\mathbf{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{e}}_i.$$a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.$ 

См. такжеПравить

• Аффинные координаты
• Проективные координаты

СсылкиПравить

• В. И. Гервидс. Модель декартовой системы координат  (неопр.) (flash). НИЯУ МИФИ (10 марта 2011). Дата обращения: 3 мая 2011.