Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину $x$$x$, искомую функцию $y$$y$ и её производные, то есть соотношение вида:

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x,y^{\prime },y^{″},...,y^{(n)})=0$$\Phi (x,y',y'',...,y^{(n)})=0$

Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией $y$$y$ от переменной $x$$x$ и её производными.

Дифференциальное уравнение ЛагранжаПравить

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

$y=x\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y^{\prime })+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y^{\prime })$$y=x\varphi (y')+\psi (y')$ 

где $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  и $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}$$\psi$  — известные функции от $y^{\prime }$$y'$ , причём считаем, что функция $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y^{\prime })$$\varphi (y')$  отлична от $y^{\prime }$$y'$ . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных $x$$x$  и $y$$y$ .

Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр $y^{\prime }=p$$y'=p$ . Тогда уравнение можно записать в виде:

$y=x\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(p)+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(p)$$y=x\varphi (p)+\psi (p)$  $⟷<!--\; ⟷\; -->$$\longleftrightarrow$  $(1)$$(1)$ 

Замечая, что $p=\frac{dy}{dx}$$p={dy \over dx}$  продифференцируем обе части этого уравнения по $x$$x$ :

$p=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(p)+[x{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }(p)+{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}$$p=\varphi (p)+[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx}$ 

Преобразуем его в виде

$p-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(p)=[x{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }(p)+{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}$$p-\varphi (p)=[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx}$  $⟷<!--\; ⟷\; -->$$\longleftrightarrow$  $(2)$$(2)$ 

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении $p=p_0$$p=p_{0}$ , удовлетворяющему условию $p_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(p_0)=0$$p_{0}-\varphi (p_{0})=0$ . В самом деле, при любом постоянном значении $p$$p$ , производная $\frac{dp}{dx}$${dp \over dx}$  тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению $p=p_0$$p=p_{0}$ , то есть, $\frac{dy}{dx}=p_0$${dy \over dx}=p_{0}$ , является линейной функцией от $x$$x$ , поскольку производная $\frac{dy}{dx}$${dy \over dx}$ , постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство $(1)$$(1)$  значение $p=p_0$$p=p_{0}$ , то есть

$y=x\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(p_0)+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(p_0)$$y=x\varphi (p_{0})+\psi (p_{0})$ .

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение $(2)$$(2)$  в виде

$\frac{dx}{dp}-<!--\; -\; -->x\frac{{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }(p)}{p-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(p)}=\frac{{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(p)}{p-<!--\; -\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(p)}$${dx \over dp}-x{\varphi '(p) \over p-\varphi (p)}={\psi '(p) \over p-\varphi (p)}$ 

и будем считать $x$$x$ , как функцию от $p$$p$ . Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции $x$$x$  от $p$$p$ . Решая его, найдём

$x=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(p,C)$$x=\omega (p,C)$  $⟷<!--\; ⟷\; -->$$\longleftrightarrow$  $(3)$$(3)$ 

Исключая параметр $p$$p$  из уравнений $(1)$$(1)$  и $(3)$$(3)$  найдём общий интеграл уравнения $(1)$$(1)$  в виде

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(x,y,C)=0$$\Phi (x,y,C)=0$ .

Дифференциальное уравнение КлероПравить

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

$y=x{y}^{\prime }+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y^{\prime })$$y=xy'+\psi (y')$  $⟷<!--\; ⟷\; -->$$\longleftrightarrow$  $(1)$$(1)$ 

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(y^{\prime })=y^{\prime }$$\varphi (y')=y'$ . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.

Положим $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=p$$y'={dy \over dx}=p$ . Тогда

$y=xp+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(p)$$y=xp+\psi (p)$  $⟷<!--\; ⟷\; -->$$\longleftrightarrow$  $(2)$$(2)$ 

Продифференцируем это уравнение по $x$$x$ , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что $p=\frac{dy}{dx}$$p={dy \over dx}$ , пишем

$p=x\frac{dp}{dx}+p+{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(p)\frac{dp}{dx}$$p=x{dp \over dx}+p+\psi '(p){dp \over dx}$ 

Преобразуем его к виду

$[x+{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}=0$$[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$ 

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

$\frac{dp}{dx}=0$${dp \over dx}=0$  $⟷<!--\; ⟷\; -->$$\longleftrightarrow$  $(3)$$(3)$ 

и

$[x+{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(p)]=0$$[x+\psi '(p)]=0$  $⟷<!--\; ⟷\; -->$$\longleftrightarrow$  $(4)$$(4)$ 

Интегрируя уравнение $(3)$$(3)$  получим $p=C=const$$p=C=const$ . Подставим значение $p$$p$  в уравнение $(2)$$(2)$  найдём его общий интеграл

$y=xC+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(C)$$y=xC+\psi (C)$  $⟷<!--\; ⟷\; -->$$\longleftrightarrow$  $(5)$$(5)$ 

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения $(4)$$(4)$  найдём $p$$p$  как функцию от $x$$x$ , затем подставим её в уравнение $(2)$$(2)$ , то получим функцию

$y=xp(x)+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}[p(x)]$$y=xp(x)+\psi [p(x)]$  $⟷<!--\; ⟷\; -->$$\longleftrightarrow$  $(6)$$(6)$ 

Которая, как легко показать, является решением уравнения $(1)$$(1)$ . Действительно, в силу равенства $(4)$$(4)$  находим

$\frac{dy}{dx}=p+[x+{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}$${dy \over dx}=p+[x+\psi '(p)]{dp \over dx}$ 

Но поскольку $[x+{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(p)]\frac{dp}{dx}=0$$[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$ , то $\frac{dy}{dx}=p$${dy \over dx}=p$ . Поэтому подставляя функцию $(6)$$(6)$  в уравнение $(1)$$(1)$ , получаем тождество

$xp+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(p)=xp+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(p)$$xp+\psi (p)=xp+\psi (p)$ .

Решение $(6)$$(6)$  не получается из общего интеграла $(5)$$(5)$  ни при каком значении произвольной постоянной $C$$C$ . Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра $p$$p$  из уравнений

$y=xp+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(p)$$y=xp+\psi (p)$  и $x+{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(p)=0$$x+\psi '(p)=0$ 

или, что без разницы, исключением $C$$C$  из уравнений

$y=xC+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(C)$$y=xC+\psi (C)$  и $x+{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }(C)=0$$x+\psi '(C)=0$ 

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом $(5)$$(5)$ .

Приложения уравнения Клеро.Править

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

$Y-<!--\; -\; -->y=y^{\prime }(X-<!--\; -\; -->x)$$Y-y=y'(X-x)$ 

или

$Y=y^{\prime }X+(y-<!--\; -\; -->x{y}^{\prime })$$Y=y'X+(y-xy')$ 

Любое свойство касательной выражается соотношением между $(y-<!--\; -\; -->x{y}^{\prime })$$(y-xy')$  и $y^{\prime }$$y'$ :

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(y-<!--\; -\; -->x{y}^{\prime },y^{\prime })=0$$\Phi (y-xy',y')=0$ 

Решая его относительно $(y-<!--\; -\; -->x{y}^{\prime })$$(y-xy')$ , придём к уравнению вида

$y=x{y}^{\prime }+\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y^{\prime })$$y=xy'+\psi (y')$ , то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

ЛитератураПравить

В. И. Смирнов «Курс высшей математики», том второй, издательство «Наука», Москва 1974.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985

К. Н. Лунгу, В. П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

См. такжеПравить

• Соотношение Клеро

СсылкиПравить

• Мир математических уравнений
• Образовательный математический сайт «Exponenta.ru»
• Онлайн энциклопедия «Кругосвет»
• Оригинальный текст Клеро (1734)