Нормальная форма Чибрарио

Нормальная форма Чибрарио — нормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки. Название предложено В. И. Арнольдом в честь итальянского математика Марии Чибрарио, установившей эту нормальную форму для одного класса уравнений.

Связанные определенияПравить

Особые точкиПравить

Пусть дифференциальное уравнение имеет вид

$F(x,y,p)=0,$$F(x,y,p)=0,\$  где $p=\frac{dy}{dx}.$$p={\frac {dy}{dx}}.$ 

Функция $F$$F$  предполагается вещественной, гладкой класса $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$$C^{\infty }$  (или аналитической) по совокупности всех трёх переменных. Особые точки такого уравнения — это точки трёхмерного пространства с координатами $(x,y,p)$$(x,y,p)$ , лежащие на поверхности, задаваемой уравнением $F=0$$F=0$ , в которых производная $F_p$$F_{p}$  обращается в нуль, т. е. проектирование $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  поверхности $\{F=0\}$$\{F=0\}$  на плоскость переменных $x,y$$x,y$  вдоль направления оси $p$$p$  нерегулярно. В общем случае множество особых точек образует на поверхности $\{F=0\}$$\{F=0\}$  кривую, называемую криминантой. Проекция криминанты на плоскость $(x,y)$$(x,y)$  называется дискриминантной кривой, её точки тоже часто называют особыми точками уравнения, хотя при этом возможна неточность: при проектировании $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  различным точками поверхности $\{F=0\}$$\{F=0\}$  может соответствовать одна и та же точка плоскости переменных $(x,y)$$(x,y)$ .

Поднятие уравненияПравить

Дифференциальное соотношение $p=dy/dx$$p=dy/dx$  задает в пространстве $(x,y,p)$$(x,y,p)$  поле контактных плоскостей $pdx-<!--\; -\; -->dy=0$$pdx-dy=0$ . Пересечение контактных плоскостей с плоскостями, касательными к поверхности $\{F=0\}$$\{F=0\}$ , задает на последней поле направлений (определенное во всех точках, где контактные и касательные плоскости не совпадают друг с другом). Интегральные кривые построенного таким образом поля являются 1-графиками решений исходного уравнения, а их проекции на плоскость $(x,y)$$(x,y)$  — графиками решений

 

Поднятие уравнения на поверхность

Описанная конструкция исследования уравнений, не разрешённых относительно производной, восходит к третьему мемуару А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1885); в современной математической литературе она часто называется поднятием уравнения на поверхность.

Теорема о нормальной формеПравить

Простейшими особыми точками уравнения $F(x,y,p)=0$$F(x,y,p)=0$  являются так называемые регулярные особые точки, в которых проектирование $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  имеет особенность, называемую складкой Уитни, и контактная плоскость не касается поверхности $F=0.$$F=0.$  Это равносильно выполнению в данной точке условий:

$F=0,F_p=0,F_{pp}\ne <!--\; \ne \; -->0,F_x+p{F}_y\ne <!--\; \ne \; -->0.$$F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.$ 

Теорема. В окрестности регулярной особой точки уравнение $F(x,y,p)=0$$F(x,y,p)=0$  с гладкой (или аналитической) функцией $F$$F$  гладко (соответственно, аналитически) эквивалентно уравнению $p^2-<!--\; -\; -->x=0,$$p^{2}-x=0,$  называемому нормальной формой Чибрарио.

В 1932 году Чибрарио получила эту нормальную форму, исследуя характеристики уравнения с частными производными второго порядка смешанного типа.

ПримерыПравить

Нормальная форма Чибрарио является характеристическим уравнением для уравнения Трикоми

$u_{xx}-<!--\; -\; -->x{u}_{yy}=0$$u_{xx}-xu_{yy}=0$ ,

относящегося к эллиптическому типу в полуплоскости $x<0$  и к гиперболическому — в полуплоскости $x>0$$x>0$ .

 

Семейство решений в нормальной форме Чибрарио

Уравнение $p^2-<!--\; -\; -->x=0$$p^{2}-x=0$  легко интегрируется: графики его решений образуют семейство полукубических парабол

$y=\pm <!--\; \pm \; -->\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},$$y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}$ 

заполняющих полуплоскость $x>0$$x>0$ , точки возврата которых лежат на дискриминантной кривой — оси $y$$y$ .

Аналогичным образом выглядят асимптотические линии двумерной поверхности в евклидовом пространстве в окрестности типичной параболической точки. Нормальная форма Чибрарио соответствует также простейшим особенностям поля медленного движения в быстро-медленных динамических системах.

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
• Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
• Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889–906.