Функция Радемахера

Функция Радемахера — кусочно-постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей области определения. Введены Гансом Радемахером в 1922 году. График функции представляет собой меандр.

Графики функций Радемахера с $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=1,2,3$$\nu =1,2,3$

Функция Радемахера может быть выражена следующим образом:

${\mathrm{rad}}_n<!--\; \; -->(x)=\mathrm{sign}<!--\; \; -->\left(\sin <!--\; \; -->\left(2^n\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}x\right)\right)$$\operatorname {rad} _{n}(x)=\operatorname {sign} \left(\sin \left(2^{n}\pi x\right)\right)$

Система функций Радемахера является ортонормированной в пространстве $L^2[0,1]$$L^{2}[0,1]$, поскольку:

${\int <!--\; \int \; -->}_0^1{\mathrm{rad}}_n<!--\; \; -->(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{rad}}_m<!--\; \; -->(x)\mathrm{d}x={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{mn}$$\int _{0}^{1}\operatorname {rad} _{n}(x)\cdot \operatorname {rad} _{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{mn}$,

где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{mn}$$\delta _{{mn}}$ — символ Кронекера.

Система функций Радемахера является неполной. На их основе можно построить функции Уолша:

${\mathrm{wal}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}<!--\; \; -->(x)={\mathrm{rad}}_{\mathrm{lb}<!--\; \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}<!--\; \; -->(x)$$\operatorname {wal} _{\nu }(x)=\operatorname {rad} _{\operatorname {lb} \nu }(x)$,

где $\mathrm{lb}<!--\; \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}={\log }_2<!--\; \; -->\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}$$\operatorname {lb} \nu =\log _{2}\nu$ — двоичный логарифм.

Функцию Радемахера можно задать через функцию Хаара $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\psi(x)$:

${\mathrm{rad}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}<!--\; \; -->(x)=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(2^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}x+k)$$\operatorname {rad} _{\nu }(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\psi (2^{\nu }x+k)$

СсылкиПравить

• Square Wave в WolframMathWorld
• Rademacher system — статья из Encyclopedia of mathematics