Многочлены Якоби

Для термина «Якоби» см. также другие значения.

Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.

Ортогональные многочлены Якоби
Общая информация
Формула	${\begin{aligned}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\times \\\times \sum _{m=0}^{n}&{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}\end{aligned}}$
Скалярное произведение	$(f,g)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->1}^1(1-<!--\; -\; -->x{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(1+x{)}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}f(x)g(x)dx$$(f,\;g)=\int _{-1}^{1}{(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)g(x)\,dx}$
Область определения	$[-<!--\; -\; -->1,1]$$[-1,\;1]$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	$\begin{array}{r}(1-<!--\; -\; -->x^2)y^{″}+(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+2)x)y^{\prime }+\\ +n(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1)y=0\end{array}$${\begin{aligned}(1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+\\+n(n+\alpha +\beta +1)y=0\end{aligned}}$
Названы в честь	Карл Якоби

ОпределениеПравить

Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные:

$P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(z)=\frac{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1{)}_n}{n!}{}_2{F}_1\left(-<!--\; -\; -->n,1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+n;\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1;\frac{1-<!--\; -\; -->z}{2}\right),$$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\right),$ 

где $(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1{)}_n$$(\alpha +1)_{n}$  является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение

$P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+n+1)}{n!\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+n+1)}\underset{m=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+n+m+1)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+m+1)}{\left(\frac{z-<!--\; -\; -->1}{2}\right)}^m,$$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},$ 

Откуда одно из конечных значений следующее

$P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{n}).$$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.$ 

Для целых $n$$n$ 

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z+1)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+1)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z-<!--\; -\; -->n+1)},$${z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(z)$$\Gamma(z)$  — обычная гамма-функция, и

${z \choose n}=0\quad {\text{для}}\quad n<0.$ 

Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности

${\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->1}^1(1-<!--\; -\; -->x{)}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}(1+x{)}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{P}_m^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(x)P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(x)dx=\frac{2^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1}}{2n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1}\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+1)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+1)n!}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{nm},$$\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},$ 

для $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>-<!--\; -\; -->1$$\alpha >-1$  и $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}>-<!--\; -\; -->1$$\beta >-1$ .

Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.

$P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(-<!--\; -\; -->z)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n{P}_n^{(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})}(z);$$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z);$ 

а потому ещё одно значение полиномов:

$P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(-<!--\; -\; -->1)=(-<!--\; -\; -->1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{n}).$$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.$ 

Для действительного $x$$x$  полином Якоби может быть записан следующим образом.

$P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(x)=\underset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{s})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{n-<!--\; -\; -->s}){\left(\frac{x-<!--\; -\; -->1}{2}\right)}^{n-<!--\; -\; -->s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s,$$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},$ 

где $s⩾<!--\; ⩾\; -->0$$s\geqslant 0$  и $n-<!--\; -\; -->s⩾<!--\; ⩾\; -->0$$n-s\geqslant 0$ .

В особом случае, когда $n$$n$ , $n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$n+\alpha$ , $n+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$n+\beta$  и $n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$n+\alpha +\beta$  — неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид

$P_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(x)=(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})!(n+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})!\underset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\left[s!(n+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->s)!(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+s)!(n-<!--\; -\; -->s)!\right]}^{-<!--\; -\; -->1}{\left(\frac{x-<!--\; -\; -->1}{2}\right)}^{n-<!--\; -\; -->s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s.$$P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.$ 

Сумма берется по всем целым значениям $s$$s$ , для которых множители являются неотъемлемыми.

Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера $d_{m^{\prime }m}^j(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$d_{m'm}^{j}(\varphi )$  ($0⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$0\leqslant \varphi \leqslant 4\pi$ ) в терминах полиномов Якоби

$d_{m^{\prime }m}^j(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})={\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{m^{\prime }m}{\left[\frac{(s)!(s+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})!}{(s+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})!(s+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})!}\right]}^{1/2}{\left(\sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{2}\right)}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{\left(\cos <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}{2}\right)}^{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}{P}_s^{(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$$d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+\mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu }\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu }P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )$ ,

где $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=|m-<!--\; -\; -->m^{\prime }|,\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=|m+m^{\prime }|,s=j-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}+\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})$$\mu =|m-m'|,\nu =|m+m'|,s=j-{\frac {1}{2}}(\mu +\nu )$ 

Величина ${\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_{m^{\prime }m}$$\xi _{m'm}$  определяется формулой

$\xi _{m'm}={\begin{cases}1,&{\text{if }}m\geq m'\\(-1)^{m'-m},&{\text{if }}m<m'\end{cases}}$ 

ПроизводныеПравить

$k$$k$ -я производная явного выражения приводит к

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{z}^k}{P}_n^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+n+1+k)}{2^k\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+n+1)}{P}_{n-<!--\; -\; -->k}^{(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+k,\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+k)}(z).$${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\;\beta +k)}(z).$ 

ЛитератураПравить

• Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Special functions, vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR: 1688958, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2 .
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 .