Весовая функция

Весовая функция — математическая конструкция, используемая при проведении суммирования, интегрирования или усреднения с целью придания некоторым элементам большего веса в результирующем значении по сравнению с другими элементами. Задача часто возникает в статистике и математическом анализе, тесно связана с теорией меры. Весовые функции могут быть использованы как для дискретных, так и для непрерывных величин.

Дискретные весовые функцииПравить

Общие определенияПравить

Дискретная весовая функция $w:A\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{+}$$w:A\to {\mathbb {R} }^{+}$  — положительная функция, определенная на дискретном множестве значений $A$$A$ , которое обычно конечно или счётно. Весовая функция $w(a):=1$$w(a):=1$  соответствует невзвешенной ситуации, когда все элементы множества имеют равные веса. Если функция $f:A\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:A\to {\mathbb {R} }$  определена на области вещественных чисел, то невзвешенная сумма $f$$f$  на $A$$A$  определяется как

$\underset{a\in <!--\; \in \; -->A}{\sum <!--\; \sum \; -->}f(a)$$\sum _{a\in A}f(a)$ ;

в отличие от взвешенной суммы $w:A\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{+}$$w:A\to {\mathbb {R} }^{+}$ , определяемой как

$\underset{a\in <!--\; \in \; -->A}{\sum <!--\; \sum \; -->}f(a)w(a)$$\sum _{a\in A}f(a)w(a)$ .

Одни из наиболее распространенных приложений взвешенных сумм — численное интегрирование и цифровая фильтрация.

Если B — конечное подмножество множества A, классическая мощность множества |B| может быть заменена на взвешенную мощность

$\underset{a\in <!--\; \in \; -->B}{\sum <!--\; \sum \; -->}w(a).$$\sum _{a\in B}w(a).$ 

Если A — конечное непустое множество, можно ввести аналог среднего арифметического

$\frac{1}{|A|}\underset{a\in <!--\; \in \; -->A}{\sum <!--\; \sum \; -->}f(a)$${\frac {1}{|A|}}\sum _{a\in A}f(a)$ 

в виде взвешенного среднего арифметического

$\frac{\underset{a\in <!--\; \in \; -->A}{\sum <!--\; \sum \; -->}f(a)w(a)}{\underset{a\in <!--\; \in \; -->A}{\sum <!--\; \sum \; -->}w(a)}.$${\frac {\sum _{a\in A}f(a)w(a)}{\sum _{a\in A}w(a)}}.$ 

В задачах многокритериальной оптимизации для перехода от множества частных значений критериев качества к единому интегральному критерию (например, стоимостному) также применяется взвешенное суммирование. Иногда , если диапазоны значений частных показателей качества существенно различаются (на несколько порядков), перед нахождением численного значения интегрального критерия $J$$J$  частные показатели качества $x_i$$x_{i}$  нормируются (диапазон изменения $[min{x}_i,max{x}_i]$$[\min {x_{i}},\max {x_{i}}]$  каждого из них приводится к отрезку $[0,1]$$[0, 1]$ ): $x_i^{\prime }=\frac{x_i-<!--\; -\; -->min{x}_i}{max{x}_i-<!--\; -\; -->min{x}_i}$$x_{i}'={\frac {x_{i}-\min {x_{i}}}{\max {x_{i}}-\min {x_{i}}}}$ , а интегральный критерий рассчитывается как $J=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_i^{\prime }{w}_i$$J=\sum _{i=1}^{n}{x_{i}'w_{i}}$ , чем достигается одинаковое влияние частных критериев на результат при сопоставимых значениях весовых коэффициентов $w_1,\dots <!--\; \dots \; -->,w_n$$w_{1},\ldots ,w_{n}$ .

СтатистикаПравить

Взвешенное среднее часто используется в статистике для компенсации предвзятости (англ. Bias). Для истинного значения $f$$f$ , измеренного как $f_i$$f_{i}$  несколько раз независимо друг от друга с дисперсиями ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2$$\sigma _{i}^{2}$ , наилучшее приближение получается путём усреднения всех результатов измерений с весами $w_i=\frac{1}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_i^2}$$w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}$ : результирующая дисперсия оказывается меньше каждого независимого измерения ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=1/\sum <!--\; \sum \; -->w_i$$\sigma ^{2}=1/\sum w_{i}$ . В методе максимального подобия разности взвешиваются аналогичными значениями $w_i$$w_{i}$ .

МеханикаПравить

Термин взвешенная функция возник из механики: если имеется $n$$n$  объектов с весами $w_1,\dots <!--\; \dots \; -->,w_n$$w_{1},\ldots ,w_{n}$  (термин вес в данном случае имеет физический смысл), расположенных в точках ${\mathit{x}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathit{x}}_n$${\boldsymbol {x}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$  на рычаге, рычаг будет находиться в равновесии, если точка опоры будет расположена в центре масс

$\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_i{\mathit{x}}_i}{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{w}_i}$${\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}$ ,

который можно интерпретировать как взвешенное среднее координат ${\mathit{x}}_i$${\boldsymbol {x}}_{i}$ .

Непрерывные весовые функцииПравить

В случае непрерывных величин вес — положительная мера $w(x)dx$$w(x)dx$  в некотором домене $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , который обычно представляет собой подмножество Евклидова пространства ${\mathbb{R}}^n$${\mathbb {R} }^{n}$  на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ . Здесь $dx$$dx$  — мера Лебега, а $w:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{R}}^{+}$$w:\Omega \to \mathbb {R} ^{+}$  — неотрицательная функция. В данном контексте весовая функция $w(x)$$w(x)$  часто употребляется в понятии плотности.

Общие определенияПравить

Если $f:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\Omega \to {\mathbb {R} }$  — вещественнозначная функция, то невзвешенный интеграл

${\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}f(x)dx$$\int _{\Omega }f(x)\ dx$ 

может быть дополнен взвешенным интегралом

${\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}f(x)w(x)dx$$\int _{\Omega }f(x)w(x)\,dx$ 

Взвешенный объёмПравить

Если E — подмножество $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$ , то объём vol(E) области E может быть дополнен взвешенным объёмом

${\int <!--\; \int \; -->}_{E}w(x)dx$$\int _{E}w(x)\ dx$ .

Взвешенное среднееПравить

Если $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$  имеет конечный ненулевой взвешенный объём, то можно заменить невзвешенное среднее

$\frac{1}{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})}{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}f(x)dx$${\frac {1}{\mathrm {vol} (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\ dx$ 

на взвешенное среднее

$\frac{{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}f(x)w(x)dx}{{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}w(x)dx}$${\frac {\int _{\Omega }f(x)\ w(x)dx}{\int _{\Omega }w(x)\ dx}}$ 

Скалярное произведениеПравить

Если $f:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:\Omega \to {\mathbb {R} }$  и $g:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$g:\Omega \to {\mathbb {R} }$  — две функции, в дополнение в невзвешенному скалярному произведению

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->:={\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}f(x)g(x)dx$$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ dx$ 

можно ввести взвешенное скалярное произведение

$⟨<!--\; ⟨\; -->f,g⟩<!--\; ⟩\; -->:={\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}f(x)g(x)w(x)dx$$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x)g(x)\ w(x)dx$ 

(См. также ортогональность)

См. такжеПравить

• Центр масс
• Численное интегрирование
• Ортогональность
• Среднее арифметическое взвешенное
• Взвешенный граф