Операторы рождения и уничтожения

Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы, которые широко применяются в квантовой механике, особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем. В квантовой теории поля волновые функции квантованных полей имеют операторный смысл и распадаются на операторы рождения и уничтожения частиц. Оператор уничтожения (обычно обозначаемый $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}$${\hat {a}}$) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор рождения (обычно обозначаемый ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}^{†<!--\; †\; -->}$${\hat {a}}^{\dagger }$) увеличивает количество частиц в заданном состоянии на единицу, он сопряжен к оператору уничтожения. Эти операторы используются вместо волновых функций во многих областях физики и химии (вторичное квантование). Понятие операторов рождения и уничтожения было введено в науку Полем Дираком.

Операторы рождения и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто воздействуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения (понижения) интерпретируется как оператор рождения (уничтожения), добавляющий (удаляющий) квант энергии в (из) систему(ы) осциллятора. Они могут быть использованы для представления фононов.

Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторов.

ОпределениеПравить

Пусть $H$$H$  — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы). (Бозонной ККС алгеброй над гильбертовым пространством $H$$H$  называется алгебра с сопряженными операторами (обозначаемыми *) абстрактно порождаемая элементами $a(f)$$a(f)$ , где $f$$f$  принадлежит $H$$H$ , с учетом соотношений:

$[a(f),a(g)]=[a^{†<!--\; †\; -->}(f),a^{†<!--\; †\; -->}(g)]=0$$[a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0$ 

$[a(f),a^{†<!--\; †\; -->}(g)]=⟨<!--\; ⟨\; -->f\mid <!--\; \mid \; -->g⟩<!--\; ⟩\; -->,$$[a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,$ 

в обозначениях бра и кет.

Отображение $a:f\to <!--\; \to \; -->a(f)$$a:f\to a(f)$  из $H$$H$  в бозонную алгебру ККС должно быть комплексным антилинейным^[en]. Сопряженный к элементу $a(f)$$a(f)$  является $a^{†<!--\; †\; -->}(f)$$a^{\dagger }(f)$ , и отображение $f\to <!--\; \to \; -->a^{†<!--\; †\; -->}(f)$$f\to a^{\dagger }(f)$  является комплексным линейным^[en] в H. Таким образом, $H$$H$  используется как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент $a(f)$$a(f)$  будет реализован как оператор уничтожения, а $a^{†<!--\; †\; -->}(f)$$a^{\dagger }(f)$  — как оператор рождения.

В общем случае алгебра ККС является бесконечномерной. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C *-алгеброй. Алгебра ККС над $H$$H$  тесно связана, но не идентична алгебре Вейля^[en].

Для фермионов (фермионная) КАС алгебра над $H$$H$  строится аналогично, но вместо этого использует отношения антикоммутации, а именно

$\{a(f),a(g)\}=\{a^{†<!--\; †\; -->}(f),a^{†<!--\; †\; -->}(g)\}=0$$\{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0$ 

$\{a(f),a^{†<!--\; †\; -->}(g)\}=⟨<!--\; ⟨\; -->f\mid <!--\; \mid \; -->g⟩<!--\; ⟩\; -->.$$\{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .$ 

КАС алгебра конечномерна только в том случае, если $H$$H$  конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно становится $C^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$C^{*}$  алгеброй. КАС алгебра тесно связана с алгеброй Клиффорда, но не идентична ей.

Физический смысл оператора $a(f)$$a(f)$  заключается в уничтожении частицы в состоянии $|f⟩<!--\; ⟩\; -->$$|f\rangle$  тогда как $a^{†<!--\; †\; -->}(f)$$a^{\dagger }(f)$  создает частицу в состоянии $|f⟩<!--\; ⟩\; -->$$|f\rangle$ .

Вакуумным состоянием свободного поля является состояние $|0⟩$$\left|0\right\rangle$  без частиц, характеризуемое как:

$a(f)|0⟩=0.$$a(f)\left|0\right\rangle =0.$ 

Если $|f⟩<!--\; ⟩\; -->$$|f\rangle$  отнормирован, так что $⟨<!--\; ⟨\; -->f|f⟩<!--\; ⟩\; -->=1$$\langle f|f\rangle =1$ , тогда $N=a^{†<!--\; †\; -->}(f)a(f)$$N=a^{\dagger }(f)a(f)$  дает число частиц в состоянии $|f⟩<!--\; ⟩\; -->$$|f\rangle$ .

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поляПравить

Основная статья: Вторичное квантование

В квантовых теориях поля и задаче многих тел^[en] используются операторы рождения и уничтожения квантовых состояний, $a_i^{†<!--\; †\; -->}$$a_{i}^{\dagger }$  и $a_i^{}$$a_{i}^{\,}$ . Эти операторы изменяют собственные значения оператора числа частиц^[en],

$N=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{n}_i=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_i^{†<!--\; †\; -->}{a}_i^{}$$N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}$ ,

на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, $i$$i$ ) представляют квантовые числа, которые обозначают одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются одиночными числами. Например, кортеж квантовых чисел $(n,l,m,s)$$(n,l,m,s)$  используется для обозначения состояний в атоме водорода.

Коммутационные соотношения операторов создания и уничтожения в системе с несколькими бозонами являются,

$[a_i^{},a_j^{†<!--\; †\; -->}]\equiv <!--\; \equiv \; -->a_i^{}{a}_j^{†<!--\; †\; -->}-<!--\; -\; -->a_j^{†<!--\; †\; -->}{a}_i^{}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij},$$[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},$ 

$[a_i^{†<!--\; †\; -->},a_j^{†<!--\; †\; -->}]=[a_i^{},a_j^{}]=0,$$[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,$ 

где $[,]$$[\ \ ,\ \ ]$  — коммутатор и ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$\delta _{{ij}}$  — cимвол Кронекера.

Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором $\{,\}$$\{\ \ ,\ \ \}$ ,

$\{a_i^{},a_j^{†<!--\; †\; -->}\}\equiv <!--\; \equiv \; -->a_i^{}{a}_j^{†<!--\; †\; -->}+a_j^{†<!--\; †\; -->}{a}_i^{}={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij},$$\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},$ 

$\{a_i^{†<!--\; †\; -->},a_j^{†<!--\; †\; -->}\}=\{a_i^{},a_j^{}\}=0.$$\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.$ 

Следовательно, обмен непересекающимися (то есть $i\ne <!--\; \ne \; -->j$$i\neq j$ ) операторами в операторах создания или уничтожения изменит знак в системах фермионов, но не в системах бозонов.

Если состояния, обозначенные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H, то результат этой конструкции совпадает с построением алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собственные векторы, соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, то интерпретация более тонкая.

См. такжеПравить

• Пространство Фока
• Пространство Сигала — Баргмана^[en]
• Оптическое фазовое пространство^[en]
• Преобразование Боголюбова
• Преобразование Гольштейна — Примакова
• Преобразование Йордана — Вигнера^[en]
• Отображение Йордана^[en]
• Преобразование Клейна^[en]
• Каноническое коммутационное соотношение

ЛитератураПравить

• Р. Фейнман. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975. — 407 с.
• Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 441 с.