Лестничный оператор

Лестничный оператор — оператор, увеличивающий или уменьшающий собственное значение другого оператора — соответственно, повышающий оператор или понижающий оператор. Основное применение — в квантовой механике, где повышающий оператор называется оператором рождения, а понижающий — оператором уничтожения, используются для описания, в частности, квантового гармонического осциллятора и оператора углового момента.

Если два оператора $X$$X$ и $N$$N$ имеют коммутатор:

$[N,X]=cX$$[N,X]=cX$

для некоторого скаляра $c$$c$, то оператор $X$$X$ действует на другой оператор таким образом, что сдвигает собственное значение оператора $N$$N$ на $c$$c$:

$N\circ <!--\; \circ \; -->X|n⟩<!--\; ⟩\; -->$$N\circ X|n\rangle$	$=(XN+[N,X])|n⟩<!--\; ⟩\; -->$${}=(XN+[N,X])|n\rangle$
	$=(XN+cX)|n⟩<!--\; ⟩\; -->$${}=(XN+cX)|n\rangle$
	$=XN|n⟩<!--\; ⟩\; -->+cX|n⟩<!--\; ⟩\; -->$${}=XN|n\rangle +cX|n\rangle$
	$=Xn|n⟩<!--\; ⟩\; -->+cX|n⟩<!--\; ⟩\; -->$${}=Xn|n\rangle +cX|n\rangle$
	$=(n+c)X|n⟩<!--\; ⟩\; -->$${}=(n+c)X|n\rangle$.

Другими словами, если $|n⟩<!--\; ⟩\; -->$$|n\rangle$ является собственным вектором оператора $N$$N$ с собственным значением $n$$n$, то $X|n⟩<!--\; ⟩\; -->$$X|n\rangle$ — собственное состояние $N$$N$ с собственным значением $n+c$$n+c$. Повышающий оператор для $N$$N$ — оператор $X$$X$, для которого $c$$c$ является вещественным положительным числом, а понижающий оператор — для которого число $c$$c$ вещественное отрицательное.

Если $N$$N$ — эрмитов оператор, то $c$$c$ должно быть вещественным, при этом эрмитово сопряжённый оператор от $X$$X$ подчиняется следующему коммутационному соотношению:

$[N,X^{†<!--\; †\; -->}]=-<!--\; -\; -->c{X}^{†<!--\; †\; -->}$$[N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }$.

Также верно, что если $X$$X$ является понижающим оператором для $N$$N$, то $X^{†<!--\; †\; -->}$$X^{\dagger }$ — повышающий оператор $N$$N$ (и обратное тоже верно).