Слабая производная

«Слабая производная» (в математике) — обобщение понятия производной функции («сильная производная») для функций, интегрируемых по Лебегу (то есть из пространства $L_1$$L_{1}$), но не являющихся дифференцируемыми.

ОпределениеПравить

Пусть $u$$u$  — функция из $L^1([a,b])$$L^{1}([a,b])$ . Функцию $v(t)$$v(t)$  из $L^1([a,b])$$L^{1}([a,b])$  называют «слабой производной» $u$$u$ , если

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}u(t){\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}^{\prime }(t)dt=-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}v(t)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)dt$$\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt$ 

для всех непрерывно дифференцируемых функций $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\varphi$  при $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(a)=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(b)=0$$\varphi (a)=\varphi (b)=0$ . Это определение основано на методе интегрирования по частям.

Обобщая на $n$$n$  измерений, если $u$$u$  и $v$$v$  принадлежат пространству $L_{loc}^1(U)$$L_{loc}^{1}(U)$  локально интегрируемых функций для некоторой области $U\subset <!--\; \subset \; -->{\mathbb{R}}^n$$U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ , и если $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — это мультииндекс, то $v$$v$  называется слабой производной $u$$u$  порядка $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , если

${\int <!--\; \int \; -->}_{U}u{D}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}=(-<!--\; -\; -->1{)}^{|\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|}{\int <!--\; \int \; -->}_{U}v\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$$\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi$ 

для всех $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\in <!--\; \in \; -->C_c^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(U)$$\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$  — финитных в $U$$U$  бесконечно гладких функций.

Если у функции $u$$u$  есть слабая производная, то её часто обозначают через $D^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}u$$D^{\alpha }u$ , так как она единственна с точностью до множества меры нуль.

ПримерыПравить

• Функция u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, которая не имеет производной в точке t = 0, тем не менее имеет на промежутке [−1, 1] слабую производную v, так называемую «функцию знака» (sgn), определяемую следующим соотношением:

$v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0;\\-1,&t<0.\end{cases}}$ 

Это не единственная производная u: всякая функция w совпадающая с v почти всюду также будет слабой производной u. Обычно это не является проблемой, так как с точки зрения и пространств Lp, и пространств Соболева они эквивалентны.

• Характеристическая функция множества рациональных чисел D (Функция Дирихле) нигде не дифференцируема, но слабую производную имеет всюду. Так как мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то

$\int <!--\; \int \; -->D(t)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(t)dt=0$$\int D(t)\varphi (t)dt=0$ 

Таким образом, $v(t)\equiv <!--\; \equiv \; -->0$$v(t)\equiv 0$  есть слабая производная функции D. Это должно быть интуитивно понятно, ведь D в пространстве Lp эквивалентна тождественному нулю.

СвойстваПравить

• Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, то они совпадают на множестве полной меры (почти всюду). Если, как принято в пространствах $L_p$$L_{p}$ , полагать почти всюду равные функции эквивалентными, то слабая производная определена единственным образом.

• Если u имеет обычную («сильную») производную, тогда она будет являться слабой производной. В этом смысле, слабая производная является обобщением сильной. Более того, классические правила для производных от суммы и от произведения функций сохраняются и для слабых производных.

РазвитиеПравить

Понятие слабой производной заложило основу для построения т. н. слабых решений в пространстве Соболева, которые оказались полезными в теории дифференциальных уравнений и в Функциональном анализе.

ЛитератураПравить

• Михлин С.Г. Курс математической физики. — 2-е, стереотипное. — СПб.: Лань, 2002. — 576 с. — ISBN 5-8114-0468-9.
• Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1.
• Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.