Индикатор (математика)

Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X$$A\subseteq X$ — это функция, определённая на множестве $X$$X$, которая указывает на принадлежность элемента $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ подмножеству $A$$A$.

Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».

Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.

ОпределениеПравить

Пусть $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X$$A\subseteq X$  — выбранное подмножество произвольного множества $X$$X$ . Функция ${\mathbf{1}}_A:X\to <!--\; \to \; -->\{0,1\}$${\mathbf {1}}_{A}:X\to \{0,1\}$ , определённая следующим образом:

${\mathbf {1}}_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in A,\\0,&x\notin A,\end{matrix}}\right.$ 

называется индикатором множества $A$$A$ .

Альтернативными обозначениями индикатора множества $A$$A$  являются: ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_A$$\chi _{A}$  или ${\mathbf{I}}_A$${\mathbf {I}}_{A}$ , а иногда даже $A(x)$$A(x)$  а также скобка Айверсона $[x\in <!--\; \in \; -->A]$$[x\in A]$ .

(Греческая буква $\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}$$\chi$  происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)

Предупреждение. Обозначение ${\mathbf{1}}_A$$\mathbf {1} _{A}$  может означать функцию идентичности.

Основные свойстваПравить

Отображение, которое связывает подмножество $A\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X$$A\subseteq X$  с его индикатором ${\mathbf{1}}_A$$\mathbf {1} _{A}$  инъективно. Если $A$$A$  и $B$$B$  — два подмножества $X$$X\$ , то

${\mathbf{1}}_{A\cap <!--\; \cap \; -->B}=min\{{\mathbf{1}}_A,{\mathbf{1}}_B\}={\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B,$${\mathbf {1}}_{{A\cap B}}=\min\{{\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}\}={\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},$ 

${\mathbf{1}}_{A\cup <!--\; \cup \; -->B}=max\{{\mathbf{1}}_A,{\mathbf{1}}_B\}={\mathbf{1}}_A+{\mathbf{1}}_B-<!--\; -\; -->{\mathbf{1}}_A{\mathbf{1}}_B,$${\mathbf {1}}_{{A\cup B}}=\max\{{{\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}}\}={\mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-{\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},$ 

${\mathbf{1}}_{A\mathrm{△<!--\; △\; -->}B}={\mathbf{1}}_A+{\mathbf{1}}_B-<!--\; -\; -->2({\mathbf{1}}_{A\cap <!--\; \cap \; -->B}),$${\mathbf {1}}_{{A\triangle B}}={\mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-2({\mathbf {1}}_{{A\cap B}}),$ 

${\mathbf{1}}_{A^c}=1-<!--\; -\; -->{\mathbf{1}}_A.$${\mathbf {1}}_{{A^{c}}}=1-{\mathbf {1}}_{A}.$ 

Более обобщённо, предположим $A_1,\dots <!--\; \dots \; -->,A_n$$A_{1},\ldots ,A_{n}$  — это набор подмножеств $X$$X$ . Ясно, что для любого $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ 

$\underset{k\in <!--\; \in \; -->I}{\prod <!--\; \prod \; -->}(1-<!--\; -\; -->{\mathbf{1}}_{A_k}(x))$$\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}}(x))$ 

— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$ , которые не принадлежат ни одному множеству $A_k$$A_k$  и 0 иначе. Поэтому

$\underset{k\in <!--\; \in \; -->I}{\prod <!--\; \prod \; -->}(1-<!--\; -\; -->{\mathbf{1}}_{A_k})={\mathbf{1}}_{X-<!--\; -\; -->\underset{k}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{A}_k}=1-<!--\; -\; -->{\mathbf{1}}_{\underset{k}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{A}_k}.$$\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}})={\mathbf {1}}_{{X-\bigcup _{{k}}A_{k}}}=1-{\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}.$ 

Разворачивая левую часть, получаем

${\mathbf{1}}_{\underset{k}{\bigcup <!--\; \bigcup \; -->}{A}_k}=1-<!--\; -\; -->\underset{F\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\{1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}(-<!--\; -\; -->1{)}^{|F|}{\mathbf{1}}_{\underset{F}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}{A}_k}=\underset{\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->F\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\{1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n\}}{\sum <!--\; \sum \; -->}(-<!--\; -\; -->1{)}^{|F|+1}{\mathbf{1}}_{\underset{F}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}{A}_k},$${\mathbf {1}}_{{\bigcup _{{k}}A_{k}}}=1-\sum _{{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}}(-1)^{{|F|}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}}=\sum _{{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}}(-1)^{{|F|+1}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}},$ 

где $|F|$$|F|$  — мощность $F$$F$ . Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если $X$$X$  — вероятностное пространство с вероятностной мерой $\mathbf{P}$${\mathbf {P}}$ , а $A$$A$  — измеримое множество, то индикатор ${\mathbf{1}}_A$$\mathbf {1} _{A}$  становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности $A:$$A:$ 

$E({\mathbf{1}}_A)=\underset{X}{\int <!--\; \int \; -->}{\mathbf{1}}_A(x)d\mathbf{P}=\underset{A}{\int <!--\; \int \; -->}d\mathbf{P}=\mathbf{P}(A).$$E({\mathbf {1}}_{A})=\int \limits _{{X}}{\mathbf {1}}_{A}(x)\,d{\mathbf {P}}=\int \limits _{{A}}d{\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(A).\quad$ 

Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.

БиблиографияПравить

• Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.

См. такжеПравить

• Простая функция
• Функция принадлежности