Нормирование (алгебра)

Запрос «Абсолютное значение» перенаправляется сюда; о значении Абсолютная величина см. Абсолютная величина.

Не следует путать с нормой.

Норми́рование — отображение элементов поля $F$$F$ или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле $P$$P$ $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->$$x\mapsto \|x\|$, обладающее следующими свойствами:

1) $\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\|x\|\geqslant 0$ и $\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->=0$$\|x\|=0$ только при $x=0$$x=0$

2) $\Vert <!--\; \Vert \; -->xy\Vert <!--\; \Vert \; -->=\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|xy\|=\|x\|\cdot \|y\|$

3) $\Vert <!--\; \Vert \; -->x+y\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->+\Vert <!--\; \Vert \; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) $\Vert <!--\; \Vert \; -->x+y\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->max(\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->,\Vert <!--\; \Vert \; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->)$$\|x+y\|\leqslant \max(\|x\|,\|y\|)$, то нормирование называется неархимедовым.

Значение $\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|x\|$ называется нормой элемента $x$$x$. Если упорядоченное поле $P$$P$ является полем вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы $\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_1$$\|\cdot \|_{1}$ и $\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_2$$\|\cdot \|_{2}$ называются эквивалентными, если $\|x\|_{1}<1$ равносильно $\|x\|_{2}<1$.

Примеры нормированийПравить

• Нормирование, при котором $\Vert <!--\; \Vert \; -->0\Vert <!--\; \Vert \; -->=0$$\|0\|=0$ , $\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->=1$$\|x\|=1$  для остальных $x$$x$ . Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  и модуль в поле комплексных чисел $\mathbb{C}$$\mathbb {C}$  являются нормированием.
• Пусть $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  — поле рациональных чисел, а $p$$p$  — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби $x=p^n\frac{a}{b}$$x=p^{n}{\frac {a}{b}}$ , где $a$$a$  и $b$$b$  не кратны $p$$p$ . Можно определить следующее нормирование $|x{|}_p=p^{-<!--\; -\; -->n}$$|x|_{p}=p^{{-n}}$ . Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Согласно теореме Островского^[en], любая нетривиальная норма на $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  эквивалентна либо абсолютной величине $|x|$$|x|$ , либо р-адическому нормированию.

Свойства нормыПравить

• $|1|=|-<!--\; -\; -->1|=1$$|1|=|-\!1|=1$ 
• Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство $||x|-<!--\; -\; -->|y||⩽<!--\; ⩽\; -->|x-<!--\; -\; -->y|$${\Bigl |}|x|-|y|{\Bigr |}\leqslant |x-y|$  (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число $A$$A$ , такое, что для любой суммы единичных элементов поля $F$$F$ :

3b) $\Vert <!--\; \Vert \; -->1+1+...+1\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->A$$\|1+1+...+1\|\leqslant A$ 

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов $x$$x$  и $y$$y$  из поля $F$$F$  имеем:

$|(x+y{)}^n|=|x^n+\dots <!--\; \dots \; -->+C_n^i{x}^{n-<!--\; -\; -->i}{y}^i+\dots <!--\; \dots \; -->+y^n|⩽<!--\; ⩽\; -->(n+1)A[max(|x|,|y|){]}^n$$|(x+y)^{n}|=|x^{n}+\ldots +C_{n}^{i}\,x^{{n-i}}\,y^{i}+\ldots +y^{n}|\leqslant (n+1)A[\max(|x|,|y|)]^{n}$ 

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ , получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.

Нормированное поле как метрическое пространствоПравить

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля $F$$F$  как норму разности $\Vert <!--\; \Vert \; -->x-<!--\; -\; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|x-y\|$ , мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в $F$$F$ .

ПополнениеПравить

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле $F$$F$  изоморфно вкладывается в полное нормированное поле $F^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$F^{*}$ , то есть существует изоморфизм $i:F\to <!--\; \to \; -->F^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$i:F\rightarrow F^{*}$ . Норма в $F^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$F^{*}$  продолжает норму в $F$$F$ , то есть для каждого $x$$x$  из $F$$F$ : $\Vert <!--\; \Vert \; -->i(x){\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{F^{\ast <!--\; \ast \; -->}}=\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|i(x)\|_{F^{*}}=\|x\|$ , причём $F$$F$  плотно в $F^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$F^{*}$  относительно этой нормы. Любое такое поле $F^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$F^{*}$  определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на $F$$F$ ; оно называется пополнением поля $F$$F$ .

Пример. Пополнением поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$${\mathbb {Q}}$  с p-адической метрикой является поле p-адических чисел ${\mathbb{Q}}_p$${\mathbb {Q}}_{p}$ .

Экспоненциальное нормированиеПравить

Пусть $v$$v$  — отображение из мультипликативной группы поля $K^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$K^{*}$  в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) $v(xy)=v(x)+v(y)$$v(xy)=v(x)+v(y)$ 

2) $v(x+y)⩾<!--\; ⩾\; -->min(v(x),v(y))$$v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))$ 

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: $v(0)=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$v(0)=\infty$ . Групповая операция на $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$  определена следующим образом: $a+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}+a=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$a+\infty =\infty +a=\infty$  для любого $a$$a$ , $\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$\infty$  упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд и Ленг. Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения $v$$v$  называют группой нормирования, а множество тех элементов $x$$x$  поля $K$$K$ , для которых $v(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$v(x)\geqslant 0$  — кольцом нормирования (обозначение — $R_v$$R_{v}$ ), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

ЛитератураПравить

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.