Норма (теория полей)

Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение поля K степени n, $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ — какой-нибудь элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над K, данный элемент определяет линейное преобразование $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}x$$x\mapsto \alpha x$. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается $N_K^E(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$N_{K}^{E}(\alpha )$ или просто $N(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$N(\alpha )$, если понятно, о каком расширении идет речь.

СвойстваПравить

• $N(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=0$$N(\alpha )=0$  тогда и только тогда, когда $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=0$$\alpha =0$ .
• $N_K^E(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{[E:K]}$$N_{K}^{E}(\alpha )=\alpha ^{[E:K]}$  для любого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->K$$\alpha \in K$ 
• $N(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})=N(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\cdot <!--\; \cdot \; -->N(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})$$N(\alpha \beta )=N(\alpha )\cdot N(\beta )$ 
• Норма транзитивна, то есть для цепочки расширений $K\subset <!--\; \subset \; -->E\subset <!--\; \subset \; -->F$$K\subset E\subset F$  имеем $N_K^E(N_E^F(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}))=N_K^F(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$N_{K}^{E}(N_{E}^{F}(\alpha ))=N_{K}^{F}(\alpha )$ 
• Если E = K(α) — простое алгебраическое расширение и f (x) = xⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ — минимальный многочлен α, то $N_K^E(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=(-<!--\; -\; -->1{)}^n{a}_0$$N_{K}^{E}(\alpha )=(-1)^{n}a_{0}$ 

Выражение нормы через автоморфизмы E над KПравить

Пусть σ₁, σ₂ … σ_m — все автоморфизмы E, сохраняющие неподвижными элементы поля K. Если E — расширение Галуа, то m равно степени [E:К] = n. Тогда для нормы существует следующее выражение:

$N_K^E(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}){\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\dots <!--\; \dots \; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_m(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$N_{K}^{E}(\alpha )=\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha )$ 

Если E несепарабельно, то m≠n, однако n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.

Тогда $N_K^E(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})=({\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_1(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}){\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_2(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})\dots <!--\; \dots \; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}_m(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}){)}^{n/m}.$$N_{K}^{E}(\alpha )=(\sigma _{1}(\alpha )\sigma _{2}(\alpha )\ldots \sigma _{m}(\alpha ))^{n/m}.$ 

ПримерПравить

Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда в базисе $(1,i)$$(1,i)$  умножению на $a+bi$$a+bi$  соответствует матрица

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$ 

Определитель этой матрицы равен $a^2+b^2$$a^{2}+b^{2}$ , то есть квадрату обычного модуля комплексного числа. Заметим, что обычно эту норму определяют как $|z{|}^2=z\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z},$$|z|^{2}=z{\bar {z}},$  и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение является нетривиальным автоморфизмом поля комплексных чисел.

См. такжеПравить

• Норма в числовом поле
• След (теория полей)

ЛитератураПравить

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.