Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

В теории динамических систем, нормальная форма Пуанкаре — Дюлака — нормальная форма векторного поля или обыкновенного дифференциального уравнения в окрестности своей особой точки.

ФормулировкаПравить

РезонансыПравить

По определению, резонансом для набора $({\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n$$(\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n})\in \mathbb {C} ^{n}$  называется равенство

${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_j=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},k⟩<!--\; ⟩\; -->,$$\lambda _{j}=\langle \lambda ,\;k\rangle ,$

((*))

где $k\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{Z}}^n,k_1,\dots <!--\; \dots \; -->,k_n⩾<!--\; ⩾\; -->0,k_1+\dots <!--\; \dots \; -->+k_n⩾<!--\; ⩾\; -->2$$k\in \mathbb {Z} ^{n},\;k_{1},\;\ldots ,\;k_{n}\geqslant 0,\;k_{1}+\ldots +k_{n}\geqslant 2$ .

Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n$$\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n}$ , называется моном

$z^k\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{z}_j,$$z^{k}\partial /\partial z_{j},$

где $z^k=z_1^{k_1}\dots <!--\; \dots \; -->z_n^{k_n}$$z^{k}=z_{1}^{k_{1}}\ldots z_{n}^{k_{n}}$  и для $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  и $k$$k$  выполнено (*).

Теорема Пуанкаре — ДюлакаПравить

Теорема. Формальное векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.

Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака.

Связанные понятияПравить

Области Пуанкаре и ЗигеляПравить

Говорят, что вектор $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^n$$\lambda \in \mathbb {C} ^{n}$  принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек ${\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}\sim <!--\; \sim \; -->{\mathbb{R}}^2$$\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n}\in \mathbb {C} \sim \mathbb {R} ^{2}$ . В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  принадлежит строгой области Зигеля.

В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.

Теорема ЛевелляПравить

Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{z}=\frac{A(t)}{t}z$${\dot {z}}={\frac {A(t)}{t}}z$

может рассматриваться как линейный по $z$$z$  вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы

$\{\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{z}=A(t)z,\\ \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{t}=t.\end{array}$$\left\{{\begin{array}{l}{\dot {z}}=A(t)z,\\{\dot {t}}=t.\end{array}}\right.$

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы — 1 // Итоги науки и техн. — Сер. «Соврем. пробл. мат. Фундам. направления». — №1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — с. 7—140.
• Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Differential Equations.