Особая точка (дифференциальные уравнения)

Для термина «особая точка» см. также другие значения.

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскостиПравить

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{x}=Ax$${\dot {x}}=Ax$ ,

где $x=(x_1,x_2)$$x=(x_{1},x_{2})$  — точка на плоскости, $A$$A$  — матрица $2\times <!--\; \times \; -->2$$2\times 2$ . Очевидно, точка $x=(0,0)$$x=(0,0)$  в случае невырожденной матрицы $A$$A$  является единственной особой точкой такого уравнения.

В зависимости от собственных значений матрицы $A$$A$ , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

Тип собственных значений	Собственные значения на комплексной плоскости	Тип особой точки	Тип фазовых траекторий	Вид фазовых траекторий
Чисто мнимые		Центр	окружности, эллипсы
Комплексные с отрицательной действительной частью		Устойчивый фокус	Логарифмические спирали
Комплексные с положительной действительной частью		Неустойчивый фокус	Логарифмические спирали
Действительные отрицательные		Устойчивый узел	параболы
Действительные положительные		Неустойчивый узел	параболы
Действительные разных знаков		Седло	гиперболы

См. такжеПравить

• Теорема Пуанкаре о векторном поле