Нормальная подгруппа

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

ОпределенияПравить

Подгруппа $N$$N$  группы $G$$G$  называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента $n$$n$  из $N$$N$  и любого $g$$g$  из $G$$G$  элемент $gn{g}^{-<!--\; -\; -->1}$$gng^{{-1}}$  лежит в $N$$N$ :

$N◃<!--\; ◃\; -->G⟺<!--\; ⟺\; -->\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}n\in <!--\; \in \; -->N,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}g\in <!--\; \in \; -->G$$N\triangleleft G\,\iff \,\forall \,n\in N,\forall \ g\in G$  $gn{g}^{-<!--\; -\; -->1}\in <!--\; \in \; -->N.$$gng^{-1}\in {N}.$ 

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

1. Для любого $g$$g$  из $G$$G$  $gN{g}^{-<!--\; -\; -->1}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->N$$gNg^{{-1}}\subseteq N$ .
2. Для любого $g$$g$  из $G$$G$  $gN{g}^{-<!--\; -\; -->1}=N$$gNg^{{-1}}=N$ .
3. Множества левых и правых смежных классов $N$$N$  в $G$$G$  совпадают.
4. Для любого $g$$g$  из $G$$G$  $gN=Ng$$gN=Ng$ .
5. $N$$N$  изоморфна объединению классов сопряжённых элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

ПримерыПравить

• $\{e\}$$\{e\}$  и $G$$G$  — всегда нормальные подгруппы $G$$G$ . Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа $G$$G$  называется простой.

• Центр группы — нормальная подгруппа.

• Коммутант группы — нормальная подгруппа.

• Любая характеристическая подгруппа нормальна, так как сопряжение — это всегда автоморфизм.

• Все подгруппы $N$$N$  абелевой группы $G$$G$  нормальны, так как $gN=Ng$$gN=Ng$ . Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.

• Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.

• В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

СвойстваПравить

• Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
• Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
• Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
• Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
• Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если $p$$p$  — наименьший простой делитель порядка $G$$G$ , то любая подгруппа индекса $p$$p$  нормальна.
• Если $N$$N$  — нормальная подгруппа в $G$$G$ , то на множестве левых (правых) смежных классов $G/N$$G/N$  можно ввести групповую структуру по правилу

$(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_1{g}_2)N$$(g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N$ 

Полученное множество называется факторгруппой $G$$G$  по $N$$N$ .

• $N$$N$  нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах $G/N$$G/N$ .
• Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной

Исторические фактыПравить

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

СсылкиПравить

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.