Теория теплоёмкости Эйнштейна

Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.

При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:

• Атомы в кристаллической решётке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.
• Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна $\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\nu =\omega /2\pi$.
• Число осцилляторов в 1 моле вещества равно $3N_a$$3N_{a}$, где $N_a$$N_{a}$ — число Авогадро.
• Энергия их квантования: $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=n\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\varepsilon =n\hbar \omega$, где $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in {\mathbb {N} }$, $\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}$$\hbar$ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
• Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана

$N_n=N_0\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{kT}n\right),$$N_{n}=N_{0}\exp \left(-{\hbar \omega \over kT}n\right),$

где $k$$k$ — постоянная Больцмана, $T$$T$ — термодинамическая температура.

Внутренняя энергия 1 моля вещества:

${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{U}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=3\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}{N}_a.$${\bar {U}}_{\mu }=3{\bar {\varepsilon }}N_{a}.$

Среднее значение энергии одного осциллятора $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$${\bar {\varepsilon }}$ находится из соотношения для среднего значения:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}=\frac{\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_n{N}_n}{\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{N}_n}$${\bar {\varepsilon }}={\sum _{n=0}^{\infty }{\varepsilon _{n}N_{n}} \over \sum _{n=0}^{\infty }{\ N_{n}}}$

и составляет:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{kT}\right)-<!--\; -\; -->1},$${\bar {\varepsilon }}={\hbar \omega \over \exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1},$

отсюда:

${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{U}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=3N_a\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\frac{1}{\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{kT}\right)-<!--\; -\; -->1}.$${\bar {U}}_{\mu }=3N_{a}\hbar \omega {1 \over \exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1}.$

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:

$C=\frac{dU}{dT}=3R{\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{kT}\right)}^2\frac{\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{kT}\right)}{{\left(\exp <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{kT}\right)-<!--\; -\; -->1\right)}^2}.$$C={dU \over dT}=3R\left({\hbar \omega \over kT}\right)^{2}{\exp \left({\hbar \omega \over kT}\right) \over \left(\exp \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1\right)^{2}}.$

Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина ${\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_E=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{k}$$\theta _{E}={\hbar \omega \over k}$ иногда называется температурой Эйнштейна.

Недостатки теории Править

 

Расхождение теорий Эйнштейна и Дебая

Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов при низких температурах, когда при стремлении температуры к нулю теплоемкость стремится к нулю гораздо медленнее, чем по теории Эйнштейна. Также теория Эйнштейна содержит неточное предположение о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.

См. также Править

• Модель Дебая
• Закон Дюлонга — Пти
• Закон Джоуля — Коппа

Источники Править

• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика.