Многообразие Уайтхеда

Многообразие Уайтхеда — определённый пример открытого трёхмерного многообразия, являющегося стягиваемым, но не гомеоморфным ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$. Пример был найден Генри Уайтхедом в 1935 году при попытке решить гипотезу Пуанкаре.

Первые три полнотория в построении

В одномерном и двумерном случаях подобных примеров не существует.

ПостроениеПравить

 

зацепление Уайтхеда

Для построения в трёхмерной сфере выбирается незаузленное полноторие $T_1$$T_{1}$ , далее — второе полноторие $T_2$$T_{2}$  в $T_1$$T_{1}$  так, что $T_2$$T_{2}$  и трубчатая окрестность меридиана $T_1$$T_{1}$  образуют утолщение зацепления Уайтхеда. При этом $T_2$$T_{2}$  можно стянуть в дополнении меридиана $T_1$$T_{1}$  и меридиан $T_1$$T_{1}$  можно стянуть в дополнении $T_2$$T_{2}$ .

Далее строится полноторие $T_3$$T_{3}$ , вложенное в $T_2$$T_{2}$  тем же способом, как и $T_2$$T_{2}$  для $T_1$$T_{1}$ ; это построение можно продолжить до бесконечности, получив последовательность вложенных полнотрий:

$T_1\subset <!--\; \subset \; -->T_2\subset <!--\; \subset \; -->T_3\subset <!--\; \subset \; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$T_{1}\subset T_{2}\subset T_{3}\subset \dots$ 

Континуум Уайтхеда определяется как пересечение построенных полнотрий:

$W=\underset{i}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}{T}_i$$W=\bigcap _{i}T_{i}$ .

Дополнение $W$$W$  в трёхмерной сфере и есть многообразие Уайтхеда.

СвойстваПравить

• Многообразие Уайтхеда, $W$$W$ , не гомеоморфно ${\mathbb{R}}^3$$\mathbb {R} ^{3}$ , но произведение $W\times <!--\; \times \; -->\mathbb{R}$$W\times \R$  гомеоморфно ${\mathbb{R}}^4$$\R^4$ .
• Многообразие Уайтхеда содержит компактное множество $K$$K$  такое, что для любого другого компактного множества $K^{\prime }\supset <!--\; \supset \; -->K$$K'\supset K$  дополнение $W\mathrm{\setminus <!--\; \setminus \; -->}{K}^{\prime }$$W\backslash K'$  не односвязно.

См. такжеПравить

• Ожерелье Антуана

ЛитератураПравить

• Kirby, Robion. The topology of 4-manifolds. — Springer-Verlag, 1989. — (Lecture Notes in Mathematics, 1374). — ISBN 0-387-51148-2.