Ожерелье Антуана

Ожерелье Антуана (антуановское множество) — пример подмножества евклидова пространства, гомеоморфного канторову множеству, но при этом имеющего неодносвязное дополнение.

Первая итерация

Вторая итерация

Построен Луи Антуаном в 1921 году.

ПостроениеПравить

Ожерелье получается как пересечение убывающей последовательности компактных множеств:

$K_1\supset <!--\; \supset \; -->K_2\supset <!--\; \supset \; -->\dots <!--\; \dots \; -->$$K_1\supset K_2\supset\dots$ 

такой, что каждое $K_n$$K_n$  является объединением конечного числа непересекающихся полноториев.

Если максимальный диаметр полнотория в $K_n$$K_n$  стремится к нулю при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ , то пересечение:

$K=\underset{n}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}{K}_n$$K=\bigcap_n K_n$ 

является компактным вполне несвязным множеством без изолированных точек и значит гомеоморфно канторову множеству.

С другой стороны, можно выбрать последовательность $K_n$$K_n$  так, что дополнение к полученному $K$$K$  неодносвязно, для этого пересечение $K_{n+1}$$K_{n+1}$  с каждым полноторием в $K_n$$K_n$  должно образовывать замкнутую цепь как на картинке.

См. такжеПравить

• Дикая сфера
• Дикий узел
• Многообразие Уайтхеда