Критерий согласия Кёйпера

Критерий согласия Кёйпера (также Купера) является развитием критерия согласия Колмогорова и был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида $H_0:F_n(x)=F(x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )$ с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии Кёйпера используется статистика вида: $V_n=D_n^{+}+D_n^{-<!--\; -\; -->}$$V_{n}=D_{n}^{+}+D_{n}^{-}$ , где

$D_n^{+}=max\left(\frac{i}{n}-<!--\; -\; -->F(x_i,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\right)$$D_{n}^{+}=\max {\left({\frac {i}{n}}-F(x_{i},\theta )\right)}$ ,   $D_n^{-<!--\; -\; -->}=max\left(F(x_i,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})-<!--\; -\; -->\frac{i-<!--\; -\; -->1}{n}\right)$$D_{n}^{-}=\max {\left(F(x_{i},\theta )-{\frac {i-1}{n}}\right)}$ , $i=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{1,n}$$i={\bar {1,n}}$ ,  

$n$$n$ — объём выборки, $x_1,x_2,...,x_n$$x_{1},x_{2},...,x_{n}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика $\sqrt{n}{V}_n$${\sqrt {n}}V_{n}$ в пределе подчиняется распределению:

$G(v)=1-<!--\; -\; -->\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}2(4m^2{v}^2-<!--\; -\; -->1)e^{-<!--\; -\; -->2m^2{v}^2}$$G(v)=1-\sum _{m=1}^{\infty }2(4m^{2}v^{2}-1)e^{-2m^{2}v^{2}}$ .

Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида

$V=V_n\left(\sqrt{n}+0,155+0,24/\sqrt{n}\right)$$V=V_{n}\left({\sqrt {n}}+0,155+0,24/{\sqrt {n}}\right)$ ,

или модификацию статистики вида

$V_n^{mod}=\sqrt{n}\left(D_n^{+}+D_n^{-<!--\; -\; -->}\right)+1/(3\sqrt{n})$$V_{n}^{mod}={\sqrt {n}}\left(D_{n}^{+}+D_{n}^{-}\right)+1/(3{\sqrt {n}})$ .

В первом случае отличием распределения статистики от предельного закона можно пренебречь при $n>20$$n>20$ , во втором — при $n>30$$n>30$ .

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.

Проверка сложных гипотезПравить

При проверке сложных гипотез вида $H_0:F_n(x)\in <!--\; \in \; -->\left\{F(x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}),\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\right\}$$H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}$  , где оценка $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\hat {\theta }}$  скалярного или векторного параметра распределения $F(x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$F(x,\theta )$  вычисляется по той же самой выборке, критерий согласия Кёйпера (как и все непараметрические критерии согласия) теряет свойство свободы от распределения.

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона $F(x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$F(x,\theta )$  , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе $H_0$$H_{0}$ ; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

См. такжеПравить

• Критерий согласия Колмогорова
• Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
• Критерий Андерсона-Дарлинга
• Критерий согласия Пирсона
• Критерий согласия Ватсона