Критерий согласия Ватсона

Непараметрический критерий согласия Ватсона является развитием критерия согласия Крамера — Мизеса — Смирнова. Критерий был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида $H_0:F_n(x)=F(x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )$ с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии Ватсона используется статистика вида:

$U_n^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\left(F(x_i,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})-<!--\; -\; -->\frac{i-<!--\; -\; -->0,5}{n}\right)}^2-<!--\; -\; -->n{\left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}F(x_i,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})-<!--\; -\; -->0,5\right)}^2+\frac{1}{12n}$$U_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(F(x_{i},\theta )-{\frac {i-0,5}{n}}\right)^{2}-n\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}F(x_{i},\theta )-0,5\right)^{2}+{\frac {1}{12n}}$ ,

где $n$$n$ — объём выборки, $x_1,x_2,...,x_n$$x_{1},x_{2},...,x_{n}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика $U_n^2$$U_{n}^{2}$ в пределе подчиняется распределению:

$G(u)=1-<!--\; -\; -->2\underset{m=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^{m-<!--\; -\; -->1}{e}^{-<!--\; -\; -->2m^2{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{2}u}$$G(u)=1-2\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m-1}e^{-2m^{2}\pi ^{2}u}$ .

Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида

$U_n^{2\ast <!--\; \ast \; -->}=\left(U_n^2-<!--\; -\; -->0,1/n+0,1/n^2\right)(1+0,8/n)$$U_{n}^{2*}=\left(U_{n}^{2}-0,1/n+0,1/n^{2}\right)(1+0,8/n)$ .

Однако следует подчеркнуть, что зависимость распределения статистики $U_n^2$$U_{n}^{2}$ от объема выборки выражена слабо. При $n>20$$n>20$ отличием распределения статистики $U_n^2$$U_{n}^{2}$ от предельного распределения можно пренебречь. При проверке простых гипотез критерий Ватсона по мощности несколько выигрывает у критерия Крамера-Мизеса-Смирнова

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.

Проверка сложных гипотезПравить

При проверке сложных гипотез вида $H_0:F_n(x)\in <!--\; \in \; -->\left\{F(x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}),\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Theta <!--\; \Theta \; -->}\right\}$$H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}$  , где оценка $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$${\hat {\theta }}$  скалярного или векторного параметра распределения $F(x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$F(x,\theta )$  вычисляется по той же самой выборке, критерий согласия Ватсона (как и все непараметрические критерии согласия) теряет свойство свободы от распределения.

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона $F(x,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})$$F(x,\theta )$  , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе $H_0$$H_{0}$ ; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях статистики при проверке простых и сложных гипотез очень существенны, поэтому пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

См. такжеПравить

• Критерий согласия Колмогорова
• Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
• Критерий Андерсона-Дарлинга
• Критерий согласия Купера
• Критерий согласия Пирсона