Теорема Эрмита — Билера

Теорема Эрмита — Билера — утверждение комплексного анализа, определяющие необходимые и достаточные условия устойчивости многочлена. Является частным случаем теоремы Чеботарёва.

ФормулировкаПравить

Многочлен $f$$f$  тогда и только тогда устойчив, когда корни многочленов $g$$g$  и $h$$h$  перемежаются и хотя бы для одного ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0$$\omega_{0}$  $g({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)h^{{}^{\prime }}({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)-<!--\; -\; -->g^{{}^{\prime }}({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)h({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0)>0$$g(\omega _{0})h^{'}(\omega _{0})-g^{'}(\omega _{0})h(\omega _{0})>0$ . Для многочлена $f$$f$  с вещественными коэффициентами это неравенство равносильно неравенству $a_{n-<!--\; -\; -->1}{a}_n>0$$a_{n-1}a_{n}>0$ .

ПоясненияПравить

Здесь многочлен $f=a_0{z}^n+a_1{z}^{n-<!--\; -\; -->1}+...+a_{n-<!--\; -\; -->1}z+a_n$$f=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_{n}$  при $a_0>0$$a_{0}>0$ , числа $a_0,a_1,...a_n$$a_{0},a_{1},...a_{n}$  — произвольные комплексные числа. Многочлен $f$$f$  называется устойчивым, если вещественные части всех его корней отрицательны. Функции $g$$g$  и $h$$h$  определяются следующим образом. Подставив в многочлен $f$$f$  вместо $z$$z$  чисто мнимое число $i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$i\omega$  получаем комплексное число $f(i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=g(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})+ih(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$$f(i\omega )=g(\omega )+ih(\omega )$ . Корни многочленов $g$$g$  и $h$$h$  с вещественными коэффициентами перемежаются, если оба многочлена имеют только вещественные и простые корни и между любыми двумя соседними корнями одного многочлена содержится один и только один корень другого многочлена.

ЛитератураПравить

• Постников М. М. Устойчивые многочлены, М., Наука, 1981, 176 стр.