Критерий Граббса

Критерий Граббса — статистический тест, используемый для определения выбросов в одномерном наборе данных, подчиняющихся нормальному закону распределения. Был предложен в 1950 году Франком Граббсом.

ОпределениеПравить

Критерий Граббса основан на предположении о нормальном распределении. Таким образом, перед расчётом критерия Граббса необходимо проверить данные на нормальное распределение.

Критерий Граббса определяет один выброс за одну итерацию. Этот выброс исключается из набора данных и тест повторяется до тех пор, пока не будут обнаружены все выбросы. Тем не менее, множественные итерации изменяют вероятность определения и критерий не следует применять при 3 или менее значениях, так как в такой ситуации часто большинство точек оказываются идентифицированы как выбросы.

Критерий Граббса определён для гипотез:

H₀: В наборе данных нет выбросов

H_a: В наборе данных присутствует как минимум один выброс

Критерий Граббса рассчитывается как:

$G=\frac{\underset{i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,N}{max}}{\left|Y_i-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}\right|}$$G={\frac {\displaystyle \max _{i=1,\ldots ,N}\left\vert Y_{i}-{\bar {Y}}\right\vert }{s}}$ 

где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}$${\overline {Y}}$  и $s$$s$  означают выборочное среднее и среднеквадратичное отклонение соответственно. Значение критерия Граббса показывает максимальное абсолютное отклонение от выборочного среднего в единицах среднеквадратичного отклонения.

Этот способ расчёта относится к двусторонней версии теста. Критерий Граббса также может быть определён как односторонний тест. Для определения того, является ли минимальное значение выбросом, рассчитывается критерий:

$G=\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}-<!--\; -\; -->Y_{min}}{s}$$G={\frac {{\bar {Y}}-Y_{\min }}{s}}$ 

где Y_min означает минимальное значение. Для определения того, является ли максимальное значение выбросом, рассчитывается критерий:

$G=\frac{Y_{max}-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}}{s}$$G={\frac {Y_{\max }-{\bar {Y}}}{s}}$ 

где Y_max означает максимальное значение.

Для двустороннего теста  (англ.) (рус. гипотеза об отсутствии выбросов отклоняется с уровнем значимости α, если:

$G>\frac{N-<!--\; -\; -->1}{\sqrt{N}}\sqrt{\frac{t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}/(2N),N-<!--\; -\; -->2}^2}{N-<!--\; -\; -->2+t_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}/(2N),N-<!--\; -\; -->2}^2}}$$G>{\frac {N-1}{\sqrt {N}}}{\sqrt {\frac {t_{\alpha /(2N),N-2}^{2}}{N-2+t_{\alpha /(2N),N-2}^{2}}}}$ 

где t_{α/(2N),N−2} означает максимальное критическое значение  (англ.) (рус. распределения Стьюдента с N − 2 степенями свободы и уровнем значимости α/(2N). Для одностороннего критерия α/(2N) следует заменить на α/N.

Сопутствующие методикиПравить

Некоторые статистические графики  (англ.) (рус. могут и должны использоваться для определения выбросов. Простой график выполняемой последовательности  (англ.) (рус., диаграмма размаха или гистограмма отображают очевидные выбросы. График нормального распределения  (англ.) (рус. также может быть полезен.

См. такжеПравить

• Критерий Шовене  (англ.) (рус.
• Критерий Пирса  (англ.) (рус.
• Критерий Диксона  (англ.) (рус.

СсылкиПравить

• Grubbs, Frank. Procedures for Detecting Outlying Observations in Samples (англ.) // Technometrics  (англ.) (рус. : journal. — Technometrics, Vol. 11, No. 1, 1969. — February (vol. 11, no. 1). — P. 1—21. — doi:10.2307/1266761. — JSTOR 1266761. (англ.)
• Stefansky, W. Rejecting Outliers in Factorial Designs (англ.) // Technometrics  (англ.) (рус. : journal. — Technometrics, Vol. 14, No. 2, 1972. — Vol. 14, no. 2. — P. 469—479. — doi:10.2307/1267436. — JSTOR 1267436. (англ.)