Выборочное среднее

Вы́борочное (эмпири́ческое) сре́днее — это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

ОпределениеПравить

Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$  — выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве $(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},\mathcal{F},\mathbb{P})$$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ . Тогда её выборочным средним называется случайная величина

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{X}_i$${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ .

Свойства выборочного среднегоПравить

• Пусть $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}(x)$${\hat {F}}(x)$  — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\omega \in \Omega$  функция $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->},x)$${\hat {F}}(\omega ,x)$  является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})$${\overline {X}}(\omega )$ .

• Выборочное среднее — несмещённая оценка теоретического среднего:

$\mathbb{E}\left[\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}\right]=\mathbb{E}[X_i],i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$\mathbb {E} \left[{\bar {X}}\right]=\mathbb {E} [X_{i}],\quad i=1,\ldots ,n$ .

• Выборочное среднее — сильно состоятельная оценка теоретического среднего:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{E}[X_i]$${\overline {X}}\to \mathbb {E} [X_{i}]$  почти наверное при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ .

• Выборочное среднее — асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин $X_i$$X_{i}$  конечна и ненулевая, то есть $\mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty ,\sigma ^{2}\not =0,\;i=1,\ldots ,n$ . Тогда

$\sqrt{n}\left(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}-<!--\; -\; -->\mathbb{E}[X_1]\right)\to <!--\; \to \; -->\mathrm{N}(0,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$${\sqrt {n}}\left({\overline {X}}-\mathbb {E} [X_{1}]\right)\to \mathrm {N} (0,\sigma ^{2})$  по распределению при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\to \infty$ ,

где $\mathrm{N}(0,{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2)$$\mathrm {N} (0,\sigma ^{2})$  — нормальное распределение со средним $0$$0$  и дисперсией ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$$\sigma ^{2}$ .

• Выборочное среднее из нормальной выборки — эффективная оценка её среднего.

См. такжеПравить

• Выборочная дисперсия
• Выборочные моменты